Почему Вы кричите?, или Странный экзамен-2

[Bortan]

Никита...
Можешь со мной на "ты". Я не обижусь.
Понимаешь, вот в чём проблема:
Каждый человек имеет профессию. И ему рассуждать по темам, которые касаются этой профессии, намного проще и интереснее, чем остальным. Так что, извини, но я поэтому всё так подробно и написал, что знаю по этому вопросу намного больше среднестатического человека. Да и не ругал я данетку. Данетка неплохо составлена. Всё тип-топ. Возможно, кому-то это обсуждение неинтересно - хозяин-барин. Но поступать так, как ты - необязательно было. В твоих словах слишком мало "конструктива". Просто ты оспариваешь, то что написал я, не указывая своего мнения. Т.е. у тебя нет опыта в этом вопросе?
Относительно предыдущего твоего поста - я по прежнему придерживаюсь высказанных ранее предположений.
--
А флейм - это немножко не то. Чесн. слово

Опять развлекаешь, причем на протяжении всей темы Особенно все это было смешно читать от человека, претендующего на знание математики. Ты почему-то думаешь, что набросав терминов, которые когда-то слышал, ты сможешь кого-то впечатлить или запудрить головы? Вынужден тебя разочаровать.

Я бы не отвечал тебе, но ты сам пишешь, что тебе пообсуждать "профессиональные темы" очень интересно. Ну что ж, давай пообсуждаем...

1. Ни один препод в ВУЗе не будет требовать прочитать вслух разложение функции в ряд (Тейлора, Лорана - не важно). Для этого ему достаточно просто взглянуть на доску или в листок.

Кстати. Таких примеров не дают.
Это СТАНДАРТНОЕ разложение элементарной функции в степенной ряд по степенях х.
Оно во всех учебниках жирной рамкой обведено:)

Предположим, что студентке выпал в билете вопрос "Разложение элементарных функций в ряд Лорана".
При ответе на него она должна объяснить, каким образом раскладываются в ряд некоторые функции: косинус, е и т.д.
В этом и заключается смысл ответа на вопрос. Т.е. конечная формула - важна, но не настолько. Кстати, обычно, матанализ идёт во 2-3-4 семестрах.

Экзамен в самом деле был по высшей математике (это единственное, что ты написал правильно). НО, если бы ты внимательно изучал математику в университете, ты бы не ссылался здесь на разложение функции в степенной ряд. ОНО К ДАНЕТКЕ НИКАКОГО ОТНОШЕНИЯ НЕ ИМЕЕТ! В данетке четко указано, что вопрос преподавателя "Hапишите разложение ЧИСЛА e (2,78...) в ряд."

Ты, очевидно, считаешь, что подобное разложение это следствие разложения функции e^x в ряд Тейлора при х=1 . ЭТО НЕВЕРНО!!! На самом деле, данное разложение - следствие определения основания натуральных логарифмов через предел e=lim{n to infinity}(1+1/n)^n (я тут не вполне корректно использую LATEX, но думаю ты поймешь это выражение, корректная запись была бы слишком громоздой). И здесь важна именно КОНЕЧНАЯ ФОРМУЛА, а не только общие рассуждения.

В курсе мат анализа это относится к ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ, еще даже до введения понятия функций и изучается в 1-м семестре. Соответственно, ряды Тейлора (не говоря уже о рядах Лорана) появляются в курсе значительно позже (теория функций, производные, функциональные ряды). Причем, для вывода разложения в ряд Тейлора функции e^x УЖЕ нужно знать определение числа е через указанный выше предел, а это значит, что приведенный в данетке ряд является не СЛЕДСТВИЕМ разложения e^x в ряд Тейлора, а его ПРИЧИНОЙ.

Вопрос преподавателя привести это разложение вполне логичен и даже явно встречается в экзаменационных билетах относящихся к теории пределов. Личное дело преподавателя попросить или нет зачитать эту формулу. Более того, в просьбе зачитать нет ничего необычного, я сам помню как столкнулся с этим на экзамене по тому же мат анализу. Относилось это к интегрированию дифференциальных форм и в выражении фигурировал supp f(x), что я оговорившись прочитал как supremum (верхняя грань, которая обозначается на письме похоже, но без двойного p, т.е. как sup f(x)), вместо правильного support (носитель функции). Я сразу исправился, но ухмылка преподавателя запомнилась...

Это все вещи элементарные. Так что, возможно, ты и знаешь больше "среднестатического" человека по этому предмету, но явно меньше, чем тебе бы стоило знать, как "математику". Тем более, если, как ты говоришь, твоя специальность - функциональный анализ.

Ты также отметил, что по прежнему придерживаешься других высказанных предположений, так что прокомментирую и их.

2. Цитирую: "Слова, написанные большими буквами надо кричать". Числа - это не слова. По крайней мере с точки зрения математики как науки.

Ты так и не понял, что эта фраза написана автором данетки как предисловие к читателям и ссылка на текст ответа. В ответе далее написано "Один разделить на ОДИH плюс один разделить на ДВА плюс один разделить на ТРИ..." Фигурируемые здесь ОДИH и т.д. - СЛОВА, и автор данетки указывает читателю, как нужно воспринимать (или проговаривать, если он захочет) написанное.

3. Я сам сталкивался не раз с такими девочками, которые не понимают смысл факториала. Все они произносили факториал примерно вот так: "Три и знак восклицания".

Ну и что? Ты готов ПОРУЧИТЬСЯ что других нет? Данетки (хорошие) потому и интересны, что описывают парадоксальные ситуации, редко встречающиеся в жизни. Данная в данетке ситуация - редкая, но вполне реалистичная.

4. Преподаватель не имел права поставить "2" балла за этот ответ. Девочка сдавала экзамен не по общей математике, а по матанализу. Изучение факториала входит в курс алгебры. Следовательно, преподаватель на основании её УСТНОГО ответа не поставил бы "2".

Категорически не согласен. Преподаватель не только ИМЕЛ ПРАВО, но и ОБЯЗАН был поставить ей двойку. Незнание студенткой понятия факториала очевидно означает, что она не знает как выводится разложение для е и что этот ряд означает, т.е. не знает теорию пределов, по которой и проводился экзамен. Точно также студент, сдающий теорию рядов Фурье и не знающий, что i - это мнимая единица, должен немедленно получить 2 без всяких дальнейших вопросов.

В общем, ты опять поразвлекал и подтвердил мое предположение, высказанное мной в другом посте: ты не хам, а просто глуп и невежествен.

Если же говорить о данетке как таковой, то у нее можно найти только один недостаток. Если знаешь, что такое факториал - решить слишком легко, не знаешь - вряд ли решишь (и история решения это показала). Я знал и решил > подумал что слишком очевидно > но мне все равно понравилось. Не обязательно же все данетки должны быть сложными, и простые тоже могут доставить удовольствие.

P.S. Ну и маленькая придирка к автору, в ответе после 1/n! надо было поставить +... (т.е. продолжить ряд до бесконечности). Хотя может это была идея, что студентка ошиблась? Тогда еще одна причина, чтобы 2 поставить )

[Елпидифор]

Да какая вообще разница, что там была за формула. Достаточно того, что она содержала понятие "факториал". Идея данетки от этого аж никак не меняется. И препод совершенно правомерно влепил "2", хотя бы просто за невладение материалом и незнание элементарных понятий (вполне мог быть не экзамен, а просто ответ на уоке/паре в школе или универе).

[Bortan]

Да какая вообще разница, что там была за формула. Достаточно того, что она содержала понятие "факториал". Идея данетки от этого аж никак не меняется. И препод совершенно правомерно влепил "2", хотя бы просто за невладение материалом и незнание элементарных понятий (вполне мог быть не экзамен, а просто ответ на уоке/паре в школе или универе).

Да я то c тобой абсолютно согласен. Я не данетку обсуждал, а комментарии Пилипенко, которые развеселили больше, чем сама данетка. Он написал, что ему интересно поговорить на это тему, вот я и пошел ему навстречу...

[pilipenko]

Бортран...
Ох....
Тебя, видно, уже закусали мои блохи?
Или у вас сразу в карантин сажают?

[Gomer]

Бортран...
Ох....
Тебя, видно, уже закусали мои блохи?
Или у вас сразу в карантин сажают?

Андрей,
во-первых, очень задолбал пассажами типа "у нас", "у вас" и т.д.
во-вторых, если нечего сказать по существу, то лучше промолчи, а то ты начинаешь тему какими-то придирками, приводишь совершенно нелогичные аргументы, а потом, когда тебе отвечают, говоришь что-то совсем невразумительное, типа: ты еще молодой, закусали блохи и т.д.
в-третьих пиши ники без ошибок!

[pilipenko]

Бортан...
Привет.
Извини, что утром не ответил подробнее - опаздывал на работу.
Знаешь, у меня складывается впечатление, что тебе хочется в моих словах найти ошибку. Да ради Бога, ищи. Но только там, где она есть. А там, где её нет - искать не надо, только выставишь себя на посмешище.
А теперь позволь мне тебе и всем, кто читает этот топик, прочесть небольшую лекцию.
---
1. В объяснении ситуации АВТОР данетки явно указал, что студентке был задан вопрос о разложении числа е в ряд.
А теперь вспомни курс высшей математики, конкретно матанализ. При изучении пределов НИ РАЗУ НЕ упоминается слово "ряд". "Последовательность", "многочлен" - это пожалуйста. Но не "ряд". Объясню почему.
При изучении матанализа темы идут в таком порядке: Функции, Последовательности, Пределы, Непрерывность функций, Производная, Исследование функций, Первообразная, Интегралы, Функции нескольких переменных, Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды, Степенные ряды, Ряды Фурье.
Вот такой вот курс. Возможно, неполный. Ещё сюда может входить теория комплексных чисел, векторный анализ, диф. уравнения. Но это уже тонкости и не имеют принципиального значения.
ВАЖНО то, что при изучении темы "Числовые последовательности. Пределы" студенты ещё не знают, что такое "ряд". Его определение даётся намного позже. НЕ веришь мне - полистай литературу.
Следовательно, раз студентке был поставлен вопрос о разложении ЧИСЛА е в РЯД, то подразумевалось, что студентка знакома с понятием ряда. А, следовательно, ДАННЫЙ вопрос мог быть поставлен лишь после изучения раздела "Ряды", т.е. где-то на втором году обучения.
2. Дальше коснёмся твоих рассказов о том, что " на самом деле, данное разложение - следствие определения основания натуральных логарифмов через предел e=lim{n to infinity}(1+1/n)^n".
А теперь разберёмся.
Существуют следующие типы заданий:
1. Написать разложение функции e^x по формуле Тейлора (Маклорена) для любого n.
В данном примере используется формула Тейлора для произвольной функции, а для вывода этой формулы используется формула Тейлора для многочлена.
P(x)=P(a)+(P'(a)/1!)*(x-a)+(P''(a)/2!)*(x-a)^2+ ... + (P{n}(a)/n!)*(x-a)^n
где P(x)=a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n
a - некоторое число.
Причём при выводе этой формулы не используется знание числа е.
-
Решается сам пример элементарно.
Отбрасывая остаточный член и заменяя функцию e^x её многочленом степени n (т.е. отбрасывая остаточный член), получим приближённое равенство:
e^x ~ 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n!
--
При х=1 мы получим РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА е В МНОГОЧЛЕН, НО НЕ В РЯД!!!!
2. Разложить в ряд по степеням х функцию е^x
Здесь уже используется понятие ряда Тейлора функции f(x) по степеням х-а:
f(a) + (f'(a)/1!)*(x-a) + (f''(a)/2!)*(x-a)^2 + ....
Который при а=0 называется рядом Макларена функции f(x)

При f(x)=e^x имеем:
f'(x)=f''(x)=...=f{n}(x)=...=e^x
f(0)=f'(0)=f''(0)=...=f{n}(0)=...=1
Имеем:

e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n! + ...
-
Это разложение является табличным, т.е. оно уже выведено и записано в жирной рамочке:)
При х=1 имеем:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! + ...
В ДАННОМ ПРИМЕРЕ МЫ ПОЛУЧИЛИ ИМЕННО РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА В РЯД!!!!
=======
Разница очевидна, надеюсь???
ВЫВОД: Приведённый в данетке пример является именно следствием разложения е^x в ряд Тейлора, а не причиной!!!
===
Вот, такие дела%((
Извинений я не жду, потому что знаю, что такие люди, как ты, обычно свои слова назад не забирают и извинений не приносят. Они хватаются за любую зацепку и пытаются показать, что они были правы все равно.
Но в душе, я надеюсь, они все равно осознают неправильность своих умозаключений%))
---
Все остальные твои высказывания я не буду оспаривать, во-первых, потому что много времени потратил, пока написал всё, что сверху, а во-вторых, они не настолько касаются меня и моих знаний математики.
=
Смотри, поаккуратнее с моими блошками, не зарази их ничем.

[Дмитрий]

Бортан, дело скорее всего в том, что ты изучал анализ по Фихтенгольцу или его последователям. Ты совершенно прав, можно вывести ряд для разложения числа е сразу из предела - в моем Фихтенгольце (1966г) это сделано на 79 странице первого тома, и это именно числовой РЯД, можешь ткнуть при случае Пилипенко. Однако в книжках с более общим подходом (он мне, кстати, симпатичнее), к примеру, у Ильина и Поздняка, предлагается именно вариант, с которым в своей преподавательской деятельности столкнулся наш математик.
Оба этих подхода имеют полнейшее право на существование, хотя мне кажется, что в анекдоте имелся в виду первый; но это уже имхо.

[pilipenko]

Бортан, дело скорее всего в том, что ты изучал анализ по Фихтенгольцу или его последователям. Ты совершенно прав, можно вывести ряд для разложения числа е сразу из предела - в моем Фихтенгольце (1966г) это сделано на 79 странице первого тома, и это именно числовой РЯД, можешь ткнуть при случае Пилипенко. Однако в книжках с более общим подходом (он мне, кстати, симпатичнее), к примеру, у Ильина и Поздняка, предлагается именно вариант, с которым в своей преподавательской деятельности столкнулся наш математик.
Оба этих подхода имеют полнейшее право на существование, хотя мне кажется, что в анекдоте имелся в виду первый; но это уже имхо.

Не думаю, что девочке-студентке, не знающей факториалов, давали конспект по Фихтенгольцу. Скорее, всё было в такой последовательности, как описано мною. Это стандарт для инженерных и нетехнических специальностей.
Спасибо, что считаешь меня "своим математиком", я буду и дальше стараться в этом направлении.
Всё-таки Бортану придётся согласится, что он поторопился с диагнозом относительно меня

[Bortan]

Бортан, дело скорее всего в том, что ты изучал анализ по Фихтенгольцу или его последователям. Ты совершенно прав, можно вывести ряд для разложения числа е сразу из предела - в моем Фихтенгольце (1966г) это сделано на 79 странице первого тома, и это именно числовой РЯД, можешь ткнуть при случае Пилипенко. Однако в книжках с более общим подходом (он мне, кстати, симпатичнее), к примеру, у Ильина и Поздняка, предлагается именно вариант, с которым в своей преподавательской деятельности столкнулся наш математик.
Оба этих подхода имеют полнейшее право на существование, хотя мне кажется, что в анекдоте имелся в виду первый; но это уже имхо.

Не думаю, что девочке-студентке, не знающей факториалов, давали конспект по Фихтенгольцу. Скорее, всё было в такой последовательности, как описано мною. Это стандарт для инженерных и нетехнических специальностей.
Спасибо, что считаешь меня "своим математиком", я буду и дальше стараться в этом направлении.
Всё-таки Бортану придётся согласится, что он поторопился с диагнозом относительно меня

На самом деле, я был бы только рад, если бы ты меня переубедил насчет "диагноза". К сожалению, каждым своим постом ты его только укрепляешь. Ниже я объясню почему.

Бортан...
Знаешь, у меня складывается впечатление, что тебе хочется в моих словах найти ошибку. Да ради Бога, ищи. Но только там, где она есть. А там, где её нет - искать не надо, только выставишь себя на посмешище.
А теперь позволь мне тебе и всем, кто читает этот топик, прочесть небольшую лекцию.

Искать там ничего не приходилось. Твои ошибки, причем многократно повторяемые, незаметить невозможно. По поводу посмешища, это как раз делаешь ты насчет себя. Причем каждый раз очень глупо подставляешься, особенно с этой "лекцией".

В своем предыдущем посте я предполагал, что ты просто забыл как определяется e и как выводится ряд для него. Оказывается ты этого даже не знал, поэтому объясняю сейчас понятнее:

1. В объяснении ситуации АВТОР данетки явно указал, что студентке был задан вопрос о разложении числа е в ряд.
А теперь вспомни курс высшей математики, конкретно матанализ. При изучении пределов НИ РАЗУ НЕ упоминается слово "ряд". "Последовательность", "многочлен" - это пожалуйста. Но не "ряд". Объясню почему.
При изучении матанализа темы идут в таком порядке: Функции, Последовательности, Пределы, Непрерывность функций, Производная, Исследование функций, Первообразная, Интегралы, Функции нескольких переменных, Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды, Степенные ряды, Ряды Фурье.
Вот такой вот курс. Возможно, неполный. Ещё сюда может входить теория комплексных чисел, векторный анализ, диф. уравнения. Но это уже тонкости и не имеют принципиального значения.
ВАЖНО то, что при изучении темы "Числовые последовательности. Пределы" студенты ещё не знают, что такое "ряд". Его определение даётся намного позже. НЕ веришь мне - полистай литературу.
Следовательно, раз студентке был поставлен вопрос о разложении ЧИСЛА е в РЯД, то подразумевалось, что студентка знакома с понятием ряда. А, следовательно, ДАННЫЙ вопрос мог быть поставлен лишь после изучения раздела "Ряды", т.е. где-то на втором году обучения.

Что ты хочешь объяснить??? Схема курса мат анализа - разная в разных вузах, даже у разных преподавателей. НО утверждать, что "При изучении пределов НИ РАЗУ НЕ упоминается слово ряд" - просто глупо. Как раз напротив, чаще всего понятие ряда приводится как один из простейших примеров последовательностей, а именно, последовательности Sn = x1+x2+x3+...+xn при n стремящемся к бесконечности. Более того, в большинстве курсов начальные понятия о рядах (всего лишь начальные!) излагаются именно в рамках теории пределов.

Не уверен, что ты будешь открывать учебники (до сих пор ты не догадался это сделать), поэтому даю тебе пару первых попавшихся ссылок на некоторые программы курсов 1-го семестра:
http://www.hsms.msu.ru/old/course-math1.shtml
http://petervas.narod.ru/files/Zadan.doc

На Зорича и Фихтенгольца (где принят тот же порядок) я здесь даже не ссылаюсь, т.к. вряд ли ты их изучал. Возможно в твоем курсе этого и не было (ты видимо учился по стандарту для инженерных и нетехнических специальностей, который ты упоминал?). Но зачем же ты свой опыт переносишь на все изучение математики и на то, как правильно ее изучать?

Но главное, что дело даже не в этом! Конкретный курс здесь никакого значения не имеет и когда именно изучаются ЧИСЛОВЫЕ ряды тоже неважно. Главное, что такой вопрос, в любом случае, не имеет отношения к ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ рядам. Если ты этого так и не понимаешь - смотри ниже, где я попытался тебе это объяснить.

А литературы я "налистался" в свое время достаточно, можешь мне поверить.

2. Дальше коснёмся твоих рассказов о том, что " на самом деле, данное разложение - следствие определения основания натуральных логарифмов через предел e=lim{n to infinity}(1+1/n)^n".
А теперь разберёмся.
Существуют следующие типы заданий:
1. Написать разложение функции e^x по формуле Тейлора (Маклорена) для любого n.
В данном примере используется формула Тейлора для произвольной функции, а для вывода этой формулы используется формула Тейлора для многочлена.
P(x)=P(a)+(P'(a)/1!)*(x-a)+(P''(a)/2!)*(x-a)^2+ ... + (P{n}(a)/n!)*(x-a)^n
где P(x)=a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n
a - некоторое число.
Причём при выводе этой формулы не используется знание числа е.
-
Решается сам пример элементарно.
Отбрасывая остаточный член и заменяя функцию e^x её многочленом степени n (т.е. отбрасывая остаточный член), получим приближённое равенство:
e^x ~ 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n!
--
При х=1 мы получим РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА е В МНОГОЧЛЕН, НО НЕ В РЯД!!!!

То что ты здесь написал - нельзя назвать иначе, чем математический бред Даже не знаю как это комментировать... Формула Тейлора для многочлена, конечно, существует. Но какое отношение она имеет к функции e^x, которая многочленом никак не является??? Например, ты пишешь:

Отбрасывая остаточный член и заменяя функцию e^x её многочленом степени n (т.е. отбрасывая остаточный член), получим приближённое равенство:
e^x ~ 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n!
--
При х=1 мы получим РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА е В МНОГОЧЛЕН, НО НЕ В РЯД!!!!

Таким образом, твой ход рассуждений следующий:
1) сначала мы берем разложение e^x в ряд: e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n! +....
2) потом обрываем его на (n+1)-ом слагаемом, представляя e^x как "многочлен" e^x ~ 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n!
3) теперь к этом "многочлену" применяем формулу Тейлора для многочленов и выводим , что e^x ~ 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n!

Это по твоему имеет хоть какой-то смысл и логику??? Я уже молчу о том, что выражения типа "РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА е В МНОГОЧЛЕН, НО НЕ В РЯД!!!! " просто абсурдны.

2. Разложить в ряд по степеням х функцию е^x
Здесь уже используется понятие ряда Тейлора функции f(x) по степеням х-а:
f(a) + (f'(a)/1!)*(x-a) + (f''(a)/2!)*(x-a)^2 + ....
Который при а=0 называется рядом Макларена функции f(x)

При f(x)=e^x имеем:
f'(x)=f''(x)=...=f{n}(x)=...=e^x
f(0)=f'(0)=f''(0)=...=f{n}(0)=...=1
Имеем:

e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n! + ...
-
Это разложение является табличным, т.е. оно уже выведено и записано в жирной рамочке:)
При х=1 имеем:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! + ...
В ДАННОМ ПРИМЕРЕ МЫ ПОЛУЧИЛИ ИМЕННО РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА В РЯД!!!!
=======
Разница очевидна, надеюсь???
ВЫВОД: Приведённый в данетке пример является именно следствием разложения е^x в ряд Тейлора, а не причиной!!!

Вот здесь - главное, что ты не понимаешь по поводу разложения е в ряд и связи с рядом Тейлора.

Позволь тебя спросить, как ты выводишь, что "при f(x)=e^x имеем: f'(x)=f''(x)=...=f{n}(x)=...=e^x ". Очевидно ты не знаешь, но этот факт следует именно из определения e как lim{n to infinity}(1+1/n)^n. Можешь открыть ЛЮБОЙ учебник и убедиться. Никаким другим способом ты выражение для производной e^x не получишь, соответственно не сможешь разложить e^x в ряд Тейлора.

В свою очередь, предел e=lim{n to infinity}(1+1/n)^n ТОЖДЕСТВЕННО равен пределу lim{n to infinity} (1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!), что, по определению, и есть ряд 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! + ...
Таким образом, имеем тождественные равенства
e=lim{n to infinity}(1+1/n)^n=lim{n to infinity} (1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!)

Очевидно, что подставив x=1 в ряд e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n! + ... мы получим e = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! + ... , но называть, что разложение числа е в этот ряд является СЛЕДСТВИЕМ разложения е^x в ряд Тейлора - грубейшая логическая ошибка. Здесь у тебя логика такая же как в предыдущем пункте, когда ты сначала представляешь е^x как "многочлен", применяешь к нему формулу Тейлора и "выводишь" ТОТ ЖЕ САМЫЙ многочлен.

Кстати, разложения e в ряд было известно задолго до формулы Тейлора. Не задумывался, как этот ряд тогда получали?

Все это я и имел ввиду в предыдущем посте, когда говорил, что разложение ЧИСЛА e не имеет отношение к теме "формула и ряд Тейлора", в которой рассматриваются разложения функций. Думал ты поймешь, а пришлось объяснять подробнее...

Бортан...
Извинений я не жду, потому что знаю, что такие люди, как ты, обычно свои слова назад не забирают и извинений не приносят. Они хватаются за любую зацепку и пытаются показать, что они были правы все равно.
Но в душе, я надеюсь, они все равно осознают неправильность своих умозаключений%))

Просто смешно Кстати, ты как раз ошибаешься. Если я бываю не прав - извинения приношу. Просто, в отличие от тебя, я обдумываю и проверяю те вещи, которые утверждаю. Ну вот что стоило тебе посмотреть все это в учебнике перед тем как писать???

Все остальные твои высказывания я не буду оспаривать, во-первых, потому что много времени потратил, пока написал всё, что сверху, а во-вторых, они не настолько касаются меня и моих знаний математики.

Если тебе нечего сказать (или, например, не хочется, времени нет и т.д.) - так и ответь. А вот на мое время ссылаться не нужно, я о нем сам позабочусь.

[Bortan]

Бортан, дело скорее всего в том, что ты изучал анализ по Фихтенгольцу или его последователям. Ты совершенно прав, можно вывести ряд для разложения числа е сразу из предела - в моем Фихтенгольце (1966г) это сделано на 79 странице первого тома, и это именно числовой РЯД, можешь ткнуть при случае Пилипенко. Однако в книжках с более общим подходом (он мне, кстати, симпатичнее), к примеру, у Ильина и Поздняка, предлагается именно вариант, с которым в своей преподавательской деятельности столкнулся наш математик.
Оба этих подхода имеют полнейшее право на существование, хотя мне кажется, что в анекдоте имелся в виду первый; но это уже имхо.

Дмитрий, такой подход принят не только у Фихтенгольца, но и в учебнике Зорича (уж никак не последователь Фихтенгольца, но при этом ИМХО лучший учебник по анализу) и во многих других курсах, которые я видел. Курса Ильина и Позняка у меня сейчас нет и цитировать его я не могу, но его я хорошо помню и, кстати, считаю очень неудачным, особенно для людей математических и физических специальностей.

Но дело то совсем не в этом! Говорить, что ряд для e выводится из формулы Тейлора просто нелогично и неправильно, так как само разложение Тейлора для е можно получить только из указанного предела для последовательности для e (или для ряда, что то же самое). Иначе говоря, разложение числа е через ряд Тейлора можно использовать только как МНЕМОНИЧЕСКОЕ ПРАВИЛО (вполне удобное, не спорю), но уже никак не считать СЛЕДСТВИЕМ этого ряда.

Я все это подробно написал Пилипенко. Правда, я не очень то верю, что он это поймет, но ты, как мне кажется, должен согласиться. По-крайней мере, ссылка на Фихтенгольца была у тебя совершенно верной. Я ее, конечно, знал, просто не хотел сводить спор с Пилипенко на тыкание в учебники, думал напомню и он сразу вспомнит, вещи то очевидные. Ошибался...

[Makarsky Alexandr]

Маразм крепчал...

[M-81]

Маразм крепчал...

а по-моему очень интересная дискуссия

[pilip]

Существуют следующие типы заданий:
1. Написать разложение функции e^x по формуле Тейлора (Маклорена) для любого n.
В данном примере используется формула Тейлора для произвольной функции, а для вывода этой формулы используется формула Тейлора для многочлена.
P(x)=P(a)+(P'(a)/1!)*(x-a)+(P''(a)/2!)*(x-a)^2+ ... + (P{n}(a)/n!)*(x-a)^n
где P(x)=a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n
a - некоторое число.
Причём при выводе этой формулы не используется знание числа е.
-
Решается сам пример элементарно.
Отбрасывая остаточный член и заменяя функцию e^x её многочленом степени n (т.е. отбрасывая остаточный член), получим приближённое равенство:
e^x ~ 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n!
--
При х=1 мы получим РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА е В МНОГОЧЛЕН, НО НЕ В РЯД!!!!

То что ты здесь написал - нельзя назвать иначе, чем математический бред Даже не знаю как это комментировать... Формула Тейлора для многочлена, конечно, существует. Но какое отношение она имеет к функции e^x, которая многочленом никак не является??? Например, ты пишешь:

Отбрасывая остаточный член и заменяя функцию e^x её многочленом степени n (т.е. отбрасывая остаточный член), получим приближённое равенство:
e^x ~ 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n!
--
При х=1 мы получим РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА е В МНОГОЧЛЕН, НО НЕ В РЯД!!!!

Таким образом, твой ход рассуждений следующий:
1) сначала мы берем разложение e^x в ряд: e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n! +....
2) потом обрываем его на (n+1)-ом слагаемом, представляя e^x как "многочлен" e^x ~ 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n!
3) теперь к этом "многочлену" применяем формулу Тейлора для многочленов и выводим , что e^x ~ 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n!

Это по твоему имеет хоть какой-то смысл и логику??? Я уже молчу о том, что выражения типа "РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА е В МНОГОЧЛЕН, НО НЕ В РЯД!!!! " просто абсурдны.

Бортан...
Знаешь, мне кажется, нам или надо встретиться в реале (что невозможно) или прекратить эту канитель.
Возьмём к примеру тот фрагмент, который приведён выше этих строк.
Если бы ты более внимательным, то обратил бы внимание на мои слова о том, что для вывода разложения е в многочлен используется формула Тейлора для ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ. А она отличается от формулы Тейлора для многочлена наличием остаточного члена. Его можно для функции е^x отбросить, потому что он стремится к нулю. Доказывать не буду - глянь в своём Зориче.
Если вспомнить, что же такое формула Тейлора для произвольной функции, то можно заметить, что P(x) - любая функция.
Следовательно, принимаем P(x)=e^x. P'(x)=P''(x)=...=e^x
При a=0 имеем, что P(a)=P'(a)=P''(a)=...=1
Подставляя в формулу Тейлора для произвольной функции, которая при отбрасывании остаточного члена превратилась в формулу Тейлора для многочлена, написанные абзацем выше значения, мы получим:

e^x ~ 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n!

Это и есть разложение функции e^x в многочлен степени n по формуле Тейлора.
Да, конечно, при нахождении производных мы пользуемся определением е, но это само собой разумеющийся факт. Так же как при сложении чисел мы пользуемся свойствами алгебраического поля (или как там это называется:).
Я даже не спорю - ты высшую математику знаешь довольно таки неплохо. Думаю, во время учёбы в МГУ ты знал её лучше, чем я. Но время делает своё "грязное" дело:(. К примеру, в физике я не разбираюсь совершенно - там ты и сейчас на три головы выше меня. Но в математике со мной спорить сложнее. Всё-таки 5 лет учёбы и уже 8-й год преподавания сказываются:(
Я даже не спорю, что из определения чмсла е, пользуясь биномом Ньютона, можно прийти к аналогичному результату.
Ты достаточно подкован в математике, чтобы видеть разницу между многочленом и рядом. Между последовательностью и рядом. Жаль, что ты не хочешь этого замечать.
---
Резюме: Давай вернёмся к самой данетке. Есть ситуация с девушкой, сдающей экзамен по высшей математике. Ей попала задача - разложить функцию в ряд. Понимаешь, неважно - какую функцию - вот ей попала функция е. А мне попадёт косинус от (3х+1). И разложить потребовали именно в ряд. Исходя из этого я и делаю вывод, что задача дана по теме "Степенные ряды".
Ты же свой вывод сделал на основании конкретного примера - функции е. Это неправильно. Хотя бы потому что так подробно курс матанализа изучается лишь на ограниченном числе специальностей, а на них девушки, которые не знают факториал, просто не встречаются. Это из области фантастики. Вспомни свою группу, параллельную. Другие курсы. Вот такие, брат, дела. А оскорблять меня с проф. точки зрения - это последнее дело. В реале я бы просто позвал кого-нибудь, чтобы тебя поставили на место (не физически, конечно). Но здесь вряд-ли найдётся человек, которому бы мы оба доверились и достаточной квалификации.

[pilip]

Маразм крепчал...

а по-моему очень интересная дискуссия

Ты бы лучше сказал, - каким образом придумал эту данетку?
На каком курсе учился в тот момент?
Это реальная история или выдумка?
А то мы тут серое вещество тратим, как два идиота:(

[81les]

По-моему, это анекдот.
Но зная некоторых нерадивых преподавателей именно высшей математики, могу предположить, что данная история могла иметь место быть. Допустим, первый курс девушка проучилась у преподавателя, который ставил тройки всем нахаляву. А на втором курсе преподаватель сменился. И тогда история из данетки вполне могла произойти.