Задачки на сообразительность

[Угрюмый]

Вспомнил одну задачку и решил загадать здесь тем, кто ее не знает.
Условие:
Есть 2 двери: за одной жизнь, за другой - смерть. У каждой двери стоит по одному стражу: один из них всегда говороит правду, другой - всегда лжет.
Вопрос:
Как при помощи одного вопроса одному из двух стражей понять, за какой дверью что скрывается?

[avgera]

Стражники знают, что один из них правдоруб, а второй - нет? Тогда так:

<удалено>

[Угрюмый]

Совершенно верный ответ, avgera!
Теперь просьба. Если не сложно, отредактирую свой ответ так, чтобы другие его не прочитали, и им было интересно отгадывать!

[freddy]

Тот, кто лжёт, стот у жизненной двери?
При ответе "Да" идти к другому.
При ответе "Нет" идти к этому.

[Угрюмый]

Итак, у нас три победителя: Avgusta, avgera и freddy! Пожалуй, на этом и закончим.
Задачка №2:
Представьте себе, а лучше нарисуйте квадрат со стороной а=15мм, внутри него по центру расположен квадрат со стороной b=5мм. а ll b. Это есть фасад, то бишь вид спереди, какой-то обемной фигуры. Точно так же (квадрат в квадрате) выглядит и вид сбоку той же самой фигуры. Ваша задача сказать, как будет выглядеть эта фигура в плане (вид сверху).
Напомню, ответ должен удовлетворять следующему условию:
Вид сбоку и фасад нарисованной вами фигуры должен выглядеть одинаково - квадрат в квадрате. Фигура и ее компоненты - объемные!

P.S. Не знаю, как в on-line принимать ответы к графическим задачкам... Наверное, надо будет излагать ответ на словах
В общем, жду ваших ответов!

[Никита]

Один из вариантов:
сложенные диагонялями квадрат (15 мм сторона) и квадрат (5 мм сторона)

в объеме - это куб, разрезанный по диагонали вдоль ребер, к центру которого приставлен так же разрезанный меньший куб.

[Угрюмый]

Ваша правда. А что, есть еще вариант?)

[Никита]

конечно "ответная часть" для такого полукуба. т.е. вырез в большом полукубе гнезда в форме маленького полукуба.

[Угрюмый]

А ведь действительно.. Я в свое время остановился на одном правильном варианте и не стал углубляться.) Ты сам догадался или знал ответ?

[Никита]

догадался

а вот ответная задачка.
Постройте трехмерную модель объемной фигуры, ВСЕ три прекции которой представляют собой квадрат перечеркнутый по ОДНОЙ из диагоналей

вид сверху и спереди - диагональ из левого верхнего угла в правый нижний, вид сбоку - диагональ из левого нижнего угла в правый верхний

кто знает - пишите в личку

[Шшок]

Попробую и я кое-что загадать. Это тоже задачка от Мартина Гарднера.

В один прекрасный день некий монах начал восхождение от подножия горы вверх по тропинке, ведущей к монастырю, расположенному на вершине горы. Он вышел в 7 часов утра, двигался с переменной скоростью, но ни разу не останавливался на отдых и не поворачивал обратно. До верха он добрался к 7 часам вечера.
На следующее утро ровно в 7 часов утра он пустился в обратный путь. Он также все время шел с переменной скоростью, которая в среднем превышала скорость подъема, и в 5 часов вечера был уже у подножия горы.
Доказать, что на тропинке обязательно есть такая точка, которую монах оба раза проходил в одно и то же время суток.
Должен сказать, что строгое математическое доказательство этого утверждения невероятно сложно. Однако, я предлагаю вам найти нестрогое, но абсолютно понятное и очень простое рассуждение, наглядно доказывающее эту теорему.

[Semak]

Попробую и я кое-что загадать. Это тоже задачка от Мартина Гарднера.

Задачка понравилась. Версию послал в личку...

[avgera]

Должен сказать, что строгое математическое доказательство этого утверждения невероятно сложно.

Чего-чего???? Даже строгое доказательство - задача для первокурсника любого факультета, где матан изучают. После вуза математикой не занимался никогда, тем не менее доказательство заняло 5 минут.

t - время, F1(t) - высота в каждый момент времени при подъеме , F2(t) - при спуске. Обе функции непрерывны (по постановке задачи - так как мнгновенно перемещаться в пространстве люди не умеют), разность непрерывных функций тоже есть функция непрерывная (одно из свойств непрерывных функций). Вот эту разность F3(t)=F1(t) - F2(t) и рассмотрели - надо доказать, что есть точка, где эта функция равна 0. F3(7 часов утра) меньше 0, так как монах в 7 утра в момент начала спуска - в самой верхней точке, а в момент начала подъема - в самой нижней. F3(5 часов вечера) больше или равно 0, так как монах спустился в самую нижнюю точку. Можно доказать даже, что строго больше 0, но нам этого не нужно - если =0, то мы нужную нам точку нашли. Значит, на интервале от 7 часов утра до 5 часов вечера непрерывная функция F3(t) меняет знак, а известная теорема матана говорит, что в этом случае существует точка, в которой F3(t)=0

А интуитивно это означает следующее - пусть в тот момент, когда монах начал спускаться, ему навстречу начал подниматься другой монах, в точности повторивший скорость подъема первого накануне. Тогда они сначала будут друг к другу приближаться, а потом, когда выше окажется другой монах - удаляться. Ну и как они могут не встретиться?

[Шшок]

Должен сказать, что строгое математическое доказательство этого утверждения невероятно сложно.

Чего-чего???? Даже строгое доказательство - задача для первокурсника любого факультета, где матан изучают. После вуза математикой не занимался никогда, тем не менее доказательство заняло 5 минут.

t - время, F1(t) - высота в каждый момент времени при подъеме , F2(t) - при спуске. Обе функции непрерывны (по постановке задачи - так как мнгновенно перемещаться в пространстве люди не умеют), разность непрерывных функций тоже есть функция непрерывная (одно из свойств непрерывных функций). Вот эту разность F3(t)=F1(t) - F2(t) и рассмотрели - надо доказать, что есть точка, где эта функция равна 0. F3(7 часов утра) меньше 0, так как монах в 7 утра в момент начала спуска - в самой верхней точке, а в момент начала подъема - в самой нижней. F3(5 часов вечера) больше или равно 0, так как монах спустился в самую нижнюю точку. Можно доказать даже, что строго больше 0, но нам этого не нужно - если =0, то мы нужную нам точку нашли. Значит, на интервале от 7 часов утра до 5 часов вечера непрерывная функция F3(t) меняет знак, а известная теорема матана говорит, что в этом случае существует точка, в которой F3(t)=0

А интуитивно это означает следующее - пусть в тот момент, когда монах начал спускаться, ему навстречу начал подниматься другой монах, в точности повторивший скорость подъема первого накануне. Тогда они сначала будут друг к другу приближаться, а потом, когда выше окажется другой монах - удаляться. Ну и как они могут не встретиться?

По поводу нестрогого доказательства - все правильно. Задачка решена. Но по поводу строгого доказательства - позволю себе заметить, что задача сводится к следующей теореме:

Дано: F1(x) - монотонно возрастающая функция на промежутке (x1,x3);
F2(x) - монотонно убывающая функция на промежутке (x1,x2), где x2<x3;
F1(x1)=F2(x2);
F1(x3)=F2(x1).

Доказать, что уравнение F1(x)-F2(x)=0 всегда имеет единственное решение.

Если схематично построить графики этих функций, то совершенно очевидно, что они просто не могут не пересечься в единственной точке. Однако попробуйте-ка это доказать!!! Эта задачка очень коварна, и многие ломали об нее зубы, как это ни странно.
В математике (даже элементарной) нет ничего более сложного, чем строгое доказательство очевидных вещей.
Под строгим я подразумеваю доказательство, лишенное фраз типа "отсюда с очевидностью вытекает следующее", то есть доказательство, свободное от пробелов и недоговоренностей.

[avgera]

Во первых, формулируй правильно В исходной задаче ты попросил доказать, что такая точка _существует_ (хотя бы одна) но вовсе не просил доказать, что она единственная.

Во-вторых, единственность доказывается не менее просто - достаточно показать, что функция F3(x)=F1(x)-F2(x) тоже монотонно возрастающая. Ну, дык зафиксировали на интервале x' и x'' так что x''>x'. Тогда F3(x'')-F3(x')=F1(x'')-F2(x'')-F1(x')+F2(x') = (F1(x'')-F1(x')) + (F2(x')-F2(x'')) >0 так как обе скобки больше нуля. А монотонность по определению предполагает, что одно и то же значение функция 2 раза принимать не может. Проблемы со строгостью вроде не увидел...