Ловим мячик

[Atson]

Пришла в голову задача. Возможно, уже где-то было.
Человек ловит мяч, который летит в его сторону. В начальный момент расстояние между мячом и человеком l. Скорость передвижения человека V. Мяч летит под углом a относительно прямой, соединяющей его и человека в начальный момент. Какова максимальная (постоянная) скорость полета мяча, при которой человек может его поймать? Под каким углом человек должен бежать его ловить (понятно, что по прямой)?

Сам пока не решал.

[team55]

Если пренебречь массой, сопротивлением воздуха, релятивистскими эффектами, солнечным ветром и прочей фигнёй, то вроде несложно, даже скрывать не буду:

Vm = V ctg a при а<45
Бежать при этом надо под углом 90-а от исходного направления на мяч.

Vm = V при a>45,
угол сам посчитай

Интересно, а человек умеет бегать медленнее, чем со скоростью V?

[Atson]

Если пренебречь массой, сопротивлением воздуха, релятивистскими эффектами, солнечным ветром и прочей фигнёй, то вроде несложно, даже скрывать не буду:

Vm = V ctg a при а<45
Бежать при этом надо под углом 90-а от исходного направления на мяч.

Vm = V при a>45,
угол сам посчитай

Интересно, а человек умеет бегать медленнее, чем со скоростью V?

По моему, неверно в обеих частях решения. Например, при a = 60 градусов берусь ловить мяч, летящий со скоростью V / cos(30) > V (бегу перпендикулярно линии, соединяющей мяч и человека). При меньших углах также выгодно взять угол бега побольше.
Бежать медленее человек может. Но для ответа на вопрос задачи это представляется несущественным.

[team55]

Да, всё не так просто; сходу не решил. Есть над чем подумать.

[team55]

Пока такое решение получилось:

[Atson]

Ну, у меня тоже так. Немного удивительно, что всегда под 90 градусов.

[Юляша]

Посмотрела приведенные решения (и рисунок) и сразу стало понятно, как решать эту задачу "правильно".

Пусть человек поймал мяч в точке D. Обратим время. К моменту, когда мяч окажется в точке M, человек мог бы добежать до любой точки круга, радиус которого определяется отношением скоростей. Проведем из точки M прямую МА под заданным углом альфа к MD. Если эта прямая пересекается с окружностью (границей круга), мяч можно поймать, стартуя с хорды, определяемой точками пересечения прямой и окружности. В предельном случае получается касательная и MA перпендикулярно к AD - то есть, действительно оптимальная стратегия - бежать перпендикулярно к прямой MA.

[Atson]

Посмотрела приведенные решения (и рисунок) и сразу стало понятно, как решать эту задачу "правильно".

Пусть человек поймал мяч в точке D. Обратим время. К моменту, когда мяч окажется в точке M, человек мог бы добежать до любой точки круга, радиус которого определяется отношением скоростей. Проведем из точки M прямую МА под заданным углом альфа к MD. Если эта прямая пересекается с окружностью (границей круга), мяч можно поймать, стартуя с хорды, определяемой точками пересечения прямой и окружности. В предельном случае получается касательная и MA перпендикулярно к AD - то есть, действительно оптимальная стратегия - бежать перпендикулярно к прямой MA.

Что-то я не уверен, что это хорошое доказательство. Хорда может лежать целиком вне отрезка MA.

[Юляша]

Посмотрела приведенные решения (и рисунок) и сразу стало понятно, как решать эту задачу "правильно".

Пусть человек поймал мяч в точке D. Обратим время. К моменту, когда мяч окажется в точке M, человек мог бы добежать до любой точки круга, радиус которого определяется отношением скоростей. Проведем из точки M прямую МА под заданным углом альфа к MD. Если эта прямая пересекается с окружностью (границей круга), мяч можно поймать, стартуя с хорды, определяемой точками пересечения прямой и окружности. В предельном случае получается касательная и MA перпендикулярно к AD - то есть, действительно оптимальная стратегия - бежать перпендикулярно к прямой MA.

Что-то я не уверен, что это хорошое доказательство. Хорда может лежать целиком вне отрезка MA.

Доказательство хорошее))) Точки А у нас не существует пока не выяснено, пересекаются ли окружность и прямая)))

[Atson]

Тогда совсем не понял доказательства. Как проводим прямую? При чем тут хорда? Вообще, поподробнее.

[Юляша]

Тогда совсем не понял доказательства. Как проводим прямую? При чем тут хорда? Вообще, поподробнее.

Хорошо, попробуем поподробнее. Сформулируем задачу следующим образом.

Человек, находящийся в точке D, бросает мячик (тот летит по прямой с постоянной скоростью Vm) и одновременно начинает бежать с постоянной скоростью V в произвольном направлении. При этом он хочет, чтобы угол, вершиной которого является мяч, а стороны проходят через исходное и текущее положение человека, оставался постоянным и был равен альфа. При какой минимальной скорости V этого можно добиться?

Я утверждаю , что такая задача полностью эквивалентна исходной (с временем, идущим назад)))). Приведенное мною выше решение к ней и относится.

[Atson]

Человек, находящийся в точке D, бросает мячик (тот летит по прямой с постоянной скоростью Vm) и одновременно начинает бежать с постоянной скоростью V в произвольном направлении.

При этом он хочет, чтобы угол, вершиной которого является мяч, а стороны проходят через исходное и текущее положение человека, оставался постоянным и был равен альфа.

В произвольном, как в первой части цитаты, или точно определенным - во второй?
Эквивалентность задач совсем не очевидна (если она есть).

[Юляша]

Человек, находящийся в точке D, бросает мячик (тот летит по прямой с постоянной скоростью Vm) и одновременно начинает бежать с постоянной скоростью V в произвольном направлении.

При этом он хочет, чтобы угол, вершиной которого является мяч, а стороны проходят через исходное и текущее положение человека, оставался постоянным и был равен альфа.

В произвольном, как в первой части цитаты, или точно определенным - во второй?
Эквивалентность задач совсем не очевидна (если она есть).

В условии - в определенном, так как перед человеком поставлена определенная задача.
В решении - первоначально в произвольном, так как мы пытаемся определить ГМТ, в которых человек может оказаться.

Задачи эквивалентны, потому что начальное положение вашей задачи соотвествует финальнмоу положению моей и наоборот...

[team55]

Ну, у меня тоже так. Немного удивительно, что всегда под 90 градусов.

Да, мне тоже это было не очевидно. Когда рисунок делал, вспомнил, кстати, что опытные вратари в футболе стараются за пенальти как раз по линии ворот прыгать - видать, неспроста.

[Atson]

Когда рисунок делал, вспомнил, кстати, что опытные вратари в футболе стараются за пенальти как раз по линии ворот прыгать - видать, неспроста.

Ну, вратарям-то назад особо отпрыгивать нельзя