Очень стыдно, но.... - 2

[Шшок]

Задачка из экзамена по математике на аттестат зрелости (израильская школа...).
Я решить не смог. Помогайте.

Доказать по индукции, что для любого целого n>1 справедливо неравенство:

(2n)! / n! > (4^n) * n! / (n+1)

[князь Владимир]

Попробую. Во всяком случае, так мы решали в школе лет 20 назад...

1) Покажем, что неравенство выполняется при n=2 (наименьшее из допустимых):
(2n)! / n!=4!/2!=24/2=12;
(4^n) * n! / (n+1)=(4^2) * 2! / (2+1)=16*2/3=32/3;
12>32/3.
2) Предположим, что неравенство верно при n=k:
(2k)! / k! > (4^k) * k! / (k+1).
3) Докажем, что, если оно верно при n=k, то оно верно при n=k+1:
(2n)! / n!=(2k+2)! / (k+1)!={(2k)! / k!}*{(2k+2)*(2k+1)/(k+1)}={(2k)! / k!}*{2*(2k+1)};
(4^n) * n! / (n+1)=[4^(k+1)] * (k+1)! / (k+2)={(4^k) * k! / (k+1)}*{(k+1)^2/(k+2)}
(обе части неравенства мы выразили через соответствующие части неравенства из п. 2).
Следовательно, нам нужно доказать, что верно неравенство:
{(2k)! / k!}*{2*(2k+1)} > {(4^k) * k! / (k+1)}*{(k+1)^2/(k+2)};
но, так как мы предположили, что (2k)! / k! > (4^k) * k! / (k+1), то для доказательства нам достаточно показать, что
2*(2k+1) > (k+1)^2/(k+2),
или, иначе
2*(2k+1)*(k+2) > (k+1)^2,
то есть
2*(2k+1)*(k+2) - (k+1)^2 >0.
Распишем:
2*(2k+1)*(k+2) - (k+1)^2 = 2*(2k^2+5k+2) - k^2+2k+1 = 3*k^2+8k+3;
а, поскольку 3*k^2+8k+3 >0 при любом k>1, то, следовательно, мы доказали, что неравенство выполняется при n=k+1.
Значит, неравенство выполняется для любого целого n>1.

[Шшок]

Отслеживая выкладки Князя Владимира (в которых, кстати, есть ошибка), я заодно обнаружил ошибку в своих собственных выкладках...
Короче, все решилось. Ура!