Теугольник пополам

[Michael]

Помогите решить, уже неделю мучаемся )
как провести прямую из заданной точки Z1, чтобы разделить треугольник на 2 равные по площади части.
Ссылка на обсуждение: http://www.gambler.ru/forum/index.php?showtopic=479533

[Чива Ротсен]

Не все понятно. Точка Z1 находится на какой-то из сторон треугольника? И для чего все эти дополнительные погстроения на рисунке? Не обращать на них внимания?

[Michael]

Да
точка Z1 - произвольная, из нее и надо провести прямую
на построения можно сначала не смотреть, они сделаны для визуализации попытки решения

[Dendr]

Кстати - там, на гамблере, ответ уже дали. Простой, между прочим.
(наработал некоторые соображения, хотел написать, но не хотел повторяться, вот и заглянул туда)

[Инна]

Там на Гамблере ерунду кто-то написал.
Не любая прямая, проходящая через центр тяжести, делит площадь пополам. Например, параллельная стороне не делит.
Если точка на стороне треугольника - решение несложное.
В общем случае я пока решить не могу.

[Dendr]

Там на Гамблере ерунду кто-то написал.
Не любая прямая, проходящая через центр тяжести, делит площадь пополам. Например, параллельная стороне не делит.

Оп-па. Да, верно. Не стал думать по этому поводу - настолько было уверенно и убедительно сказано... А ведь достаточно взять равносторонний треугольник, чтобы убедиться в этом.

Я попробовал свести задачу к следующей - построение прямой Z1C таким образом, чтобы площади, показанные синим цветом (AXO и MEO) были равны. Начальные данные, правда, похитрее.
Дан треугольник AMH (AM - медиана исходного треугольника, AH - его высота) и луч AC' (содержащий сторону AC исходного тр-ка). И дана точка Z1. Все остальные точки и построения на рисунке - вспомогательные.

Построения, может, и посложнее будут, но так вроде проще тригонометрически найти нужную точку. Да и теперь сравниваемые площади - это два треугольника.

[Dendr]

Следующая модификация задачи.
Дан горизонтальный отрезок AM (который ранее был медианой - медиана, я напомню, всегда делит треугольник пополам по площади).

Даны два луча, построенные из вершин отрезка AC' и MB'.
При этом угол C'AM меньше B'MA.
Дана точка Z1. Задача - найти точку X такую, что тр-ки AOX и MOE равны по площади.
Или лучше сказать - найти точку O, лежащую на данном отрезке.
(то, что Z1X - искомый отрезок в исходной задаче, доказывается легко, не буду на этом останавливаться)

Дополнительное построение на рисунке (зеленая жирная линия) - вертикальная прямая FH такая, что площади AFG и GMH равны. Надо сказать, что я сначала считал, что Z1G - искомая линия, но я ошибался. Искомая точка O лежит правее (в изображенном случае).
Интуитивно кажется, что ответ как-то связан с проведением прямых Z1F и Z1H, но пока доказать не могу.
Правда, тут встает еще вопрос - как построить FH. Но это, видимо, попроще (хотя все равно корни из тангенса нужны...)

[Dendr]

Что-то никого не заинтересовала задача, один я раздумываю, что ли?

Постоение FH возможно, правда, пока через левое ухо правой пяткой, с кучей дополнительных построений, включая "геометрические" умножение, деление и извлечение корня. А с Z1O пока туго....