Теория чисел

[Antananarivu]

Возникли вопросы:
1. Чему равно произведение всех положительных действительных чисел?
2. Как перевести нецелое число (ну, допустим, "пи") в двоичную систему исчисления?

[Valentin]

1. Ну дык нулю.
2. Воспользовавшись к примеру такой штуковиной как Qalculate.
А если серьёзно, то берём дробную часть, умножаем на 2, если резалт меньше единицы - то в первую позицию после точки 0, ещё раз на 2, меньше единицы - 0, больше - 1, отбрасываем целую часть и повторяем.
Если интересует ограниченная точность то читать IEEE 754 до наступления просветления.

[Antananarivu]

1. А почему нулю?
2. Понял.

[Dendr]

1. Чему равно произведение всех положительных действительных чисел?

1. Ну дык нулю.

"Ну дык" - единице

P.S. При условии, что мощность множества бесконечна.

[Dendr]

Кстати... оно (произведение) равно и "пи" тоже.

И, заодно, до кучи, шестистам восьмидесяти трем миллионам четыремстам семидесяти одной тысяче восьмистам двум целым четырнадцати сотым.

[Antananarivu]

Тогда объясняйте почему единице?
Как считать-то, я либо забыл либо и не знал никогда.
На самом деле у меня даже 6 вопросов.
1. Произведение всех положительных действительных чисел - ???
2. Произведение всех отрицательных действительных чисел - ???
3. Произведение всех положительных рациональных чисел - ???
4. Произведение всех отрицательных рациональных чисел - ???
5. Произведение всех положительных иррациональных чисел - ???
6. Произведение всех отрицательных иррациональных чисел - ???


P.S.

Кстати... оно (произведение) равно и "пи" тоже.

И, заодно, до кучи, шестистам восьмидесяти трем миллионам четыремстам семидесяти одной тысяче восьмистам двум целым четырнадцати сотым.

Они не определены то есть?

[Valentin]

1. А почему нулю?

А разве ноль уже из действительных разжалован?

[Antananarivu]

...положительных действительных чисел...

[Dendr]

Тогда объясняйте почему единице?
Как считать-то, я либо забыл либо и не знал никогда.
...
Они неопределены то есть?

Извиняюсь... про миллионы - поторопился.

Докажем, что оно равно единице. Будем доказывать образно

Допустим, что все действительные числа записаны на карточках, и карточки лежат в волшебном мешке. Мешок, разумеется, занимает всю Вселенную. Лезем в мешок и достаем какую-то карточку наугад. На ней, допустим, четверка. Колупаемся в мешке и достаем карточку, на которой написано число 0.25. Теперь берем степлер и соединяем эти карточки.
Лезем дальше, достаем еще карточку (не трогая карточек со скрепкой), где число х, ищем целенаправленно число 1/х, снова соединяем степлером. И так далее. Спустя бесконечное время у нас в мешке почти все карточки будут сцеплены попарно. Почти все - кроме карточки с единицей. легко понять, что произведение ВСЕХ чисел можно представить, как произведение пар (коммутативность и дистрибутивность пока что действует...). В каждой паре произведение - единица. Произведение любого числа единиц - единица. Умножаем на непарную единицу - получим в итоге единицу.

С другой стороны. Берем не 1/x, а 2/х. В итоге получим, что произведение 2 в степени бесконечность. (или пи в той же степени, или 3 мильона)

Ниже будет доказательство с т.зр. теории множеств.

[Dendr]

Док-во с т.зр. теории множеств.
Обозначим Щ - множество всех положительных действительных числе.
Как вы думаете, что за множество 1/Щ?
Его каждый элемент которого однозначно сопоставлен с каждым элементов Щ по соотношению: (1/щ)_i=1/(щ_i).
Очевидно, что Щ=1/Щ (!).
Обозначим произведение всех элементов Щ, как Ы, оно положительно.
Т.е. П(Щ)=Ы>0.
По определению 1/Щ: П(1/Щ)=1/Ы.
Но, т.к. 1/Щ=Щ, то П(1/Щ)=Ы.

Следовательно, Ы=1/Ы. Или Ы^2=1. Таким образом, Ы=1.
Ч.т.д.

[Antananarivu]

Я, конечно, не секу в теории множеств, но почему Щ=1/Щ?
Я согласен, что Щ равномощно 1/Щ, но разве они равны?
И потом, ты же сам выше показал, что чисто умозрительно можно так же взять Щ и 2/Щ (х и 2/х) и тогда (рассуждая таким же образом) произведение будет равно 2 в степени бесконечность, как с этим быть?

[Antananarivu]

По этой же логике (насколько я понял) и произведение всех положительных рациональных (и иррациональных) чисел будет равно "1", а отрицательных - "-1"

[Dendr]

Я, конечно, не секу в теории множеств, но почему Щ=1/Щ?
Я согласен, что Щ равномощно 1/Щ, но разве они равны?

Ну, то что мощности равны, это следует из определения.

А вот равенство самих множеств - видно из того, что мы берем ВСЕ числа (положительные и действительные), и КОНФОРМНО отображаем их на ВСЕ числа.


Другое дело, что можно также, как и в случае с мешком чисел, вводить и множество 2/Щ, и 0.5/Щ.
Может показаться удивительным, но 2/Щ=0.5/Щ=1/Щ=Щ=2*Щ...

(Чтобы было проще понятно, это надо обратиться к Гарднеру - его задача администратора бесконечной гостиницы, в которую только что прибыло бесконечное количество постояльцев)

Получается, что произведение всех таких чисел может быть равно и единице, и нулю, и бесконечности... Это смотря как определять "сопарное" множество. Но "физически красивым" является ответ "единица".


С отрицательными же получается жуткая жуть... Проделав те же рассуждения с мешком, получаем, что их произведение равно -1 (а также, "нефизические" решения - минус бесконечность и "0-0"). Следовательно - размер множества не определен, но тем не менее их - нечетное число (!). Парадокс. Парадокс ли? Хм.
Повторив же рассуждения с множествами -Щ и -1/Щ, получим, что ответ - "корень из единицы". Т.е. либо 1, либо -1, но что именно - сказать нельзя. Работая же не с -1/Щ, а -2/Щ или -0.5/Щ, вообще получаем жуткую петрушку: произведение то ли стремится к нулю, то ли к бесконечности, и при все этом мы не можем определить его знак.

[Antananarivu]

Эх, никогда мне не нравились все эти теории бесконечных множеств.
То есть выходит однозначного ответа на мои вопросы современная теория чисел не дала, грубо говоря все же результат неопределен?
Я вообще хотел начать с произведения всех отрицательных целых чисел, но тут тоже видимо будет неопределенность (либо "-бесконечность" либо "+бесконечность").

[Dendr]

По этой же логике (насколько я понял) и произведение всех положительных рациональных (и иррациональных) чисел будет равно "1", а отрицательных - "-1"

Ага. А вот с рациональными все гораздо проще. Это множество состоит из:
а) всех натуральных чисел
б) всех "антинатуральных" чисел (т.е. 1/2, 1/3, 1/4...)
в) всех несократимых дробей вида m/n (где m и n - взаимно простые натуральные числа, не равные единице)

Доказательство простое (это будет домашнее задание ), и ответ будет единица.

Для отрицательных же рациональных - ответ тоже определен, и равен -1.

С иррациональными несложно. Зная произведение всех действительных чисел, и произведение всех рациональных чисел, делим одно на другое, получаем, что оно (для положительных чисел) равно Ы. (в свою очередь, Ы, скорее всего, равно 1)

А вот иррациональные отрицательные числа приводят опять к парадоксу (?). Знак их произведения отличен от знака произведения всех отрицательных действительных чисел.
Парадокс? А вот и нет. Просто у ВСЕХ чисел есть минус единица, а у иррациональных ее нет. Вот и все дела.