AndrNiko писал(а):Но произведение, например, всех рациональных чисел также не имеет смысла, т.к. нет естественного порядка расположения их в ряд. Существуют расположения, при котором произведение будет стремиться к нулю либо к бесконечности, но ни для какого иного числа невозможно упорядочить рациональные числа в ряд таким образом, что его произведение будет стремиться к этому числу.
Здрааасти! Как это "нет естественного порядка"?
Простая и понятная форма упорядочивания рациональных чисел следующая (под рациональными числами понимаем несократимые "целочисленные" дроби и целые числа):
(почему только нескоратимые? потому что у нас есть исходно числа, а вот их представление на бумаге - наше право. Хотим - в десятичной записи, хотим - в виде дробей: одно число - одна дробь, проичем удобнее, чтобы она была несократимой)
Берем натуральный ряд от 2 до бесконечности. Формируем "группы" дробей по суммам числителя и знаменателя по возрастанию числителя.
2: 1/1
3: 1/2, 2/1
4: 1/3,
2/2, 3/1 (2/2 - дробь сократимая, ее исключим)
5: 1/4, 2/3, 3/2, 4/1
...
N: 1/(N-1), 2/(N-2),... k/(N-k), (N-1)/1 (если есть сократимые - также выбрасываем)
...
В такой последовательности в группе "N" - (N-1) элемент минус сократимые дроби (кстати, интересно найти формулу их определения - но и должна быть готовая). Во всех группах от 2 до "N": N(N-1)/2 элементов минус сократимые. Нумерация не представляет особой сложности.
Пользуясь дистрибутивностью умножения рациональных (да и вообще чисел - вплоть до кватернионов) чисел, находим, что произведение ВСЕХ чисел равно произведению подпроизведений, где подпроизведение_N - есть произведение чисел в группе "N". А оно равно, очевидно, (N-p-1)!/(N-p-1)!=1. (p - число сократимых дробей)
Произведение же бесконечного числа единиц (не предела, стремящегося к единице, а строго единицы) есть ровно единица.
Если так не убедительно - то вот еще.
Разделим все рациональные числа на три группы.
А. Число 1.
Б. Все несократимые дроби, у которых числитель больше знаменателя.
В. Все несократимые дроби, у которых числитель меньше знаменателя.
Вы согласны с тем, что мощность Б и мощность В равны?
Каждому элементу подмножества Б соотвествует один, и только один элемент множества В. И наоборот. (соответствие определяется перестановкой числителя и знаменателя местами)
Итого, произведение всех рациональных положительных чисел - единица.
Можем ли мы задать границу групп, например, двойкой, как в случае действительных чисел (что в конечном счете приводит к парадоксу)?
Делим на три группы:
А'. 2
Б'. Несократимые дроби, где числитель по кр. мере в два раза превышает знаменатель. (3/1, 4/1... 5/2, 7/2, ... 7/3... )
В'. Остальные рац. числа. (числитель меньше удвоенного знаменателя)
Можно ли найти однозначное соответствие Б'-В'?
Что если попробовать взять соответствие x - 4/x?
x=n/m, где n>2m (2n>4m)
Если n - нечетное
4/x=4/(n/m)=4m/n, 4m<2n - т.е. получили элемент В'
Если n - четное, но не кратно 4. n=2k, k>m
4/x=4/(2k/m)=2m/k, 2m<2k, m<k
Если n=4s, 4s>2m, 2s>m
4/x=4/(4s/m)=m/s, m<2s
Итак, при переходе от Б' к В' мы однозначно получаем один элемент. Причем взаимно-однозначно (не существует двух разных x и y, для которых 4/x=4/y). Верно и обратное.
Следовательно, если мы однозначно перейдем от Б' к В', а потом опять однозначно от В' к Б', то должны получить множество, равное Б' (вообще говоря, не обязательно даже, чтобы обратный перевод приводил к тому же числу, с которого начали - важно, что получатся обязательно разные числа, и то же самое их количество). Следовательно... Мощность множества Б' равна мощности В'. Произведение их дает 4^P, где P - эта мощность, которая есть бесконечное число. Т.е. П=2^(2P+1)...
P.S. Хотел было написать опровержение, но на полпути понял, что наоборот, это будет доказательством.
P.P.S.
Вообще говоря, хоть множество рац.чисел и счетно, оно очень странное.
Вот пример: рассмотрим все рац.числа от нуля до единицы (исключая концы). Это есть числа, количество цифр в записи которых либо конечно, либо бесконечно, но периодично. Дробью: m/n, m<n
Если добавим единицу к каждому - получаем числа от 1 до 2. Их "ровно столько же", сколько и в первом случае. Дробью: (m+n)/n
Если возведем каждое в (-1)-ю степень - получаем числа от 1 до бесконечности. И их "ровно столько же". Дробью: n/m
Мы можем же заполнить "треугольную" таблицу бесконечных размеров этими числами. В ячейку (m;n) ставим три числа: m/n, n/m, (m+n)/n.
Первое - по определению, "все-превсе возможные" дробные части рац.чисел.
Второе - "все-превсе" числа, большие 1. Если это не так, то есть мы нашли такое число Х, которое не упомянуто в клетках таблицы, то... берем 1/Х, получаем неучтенную дробную часть. Противоречие.
Третье - "все-превсе" числа между 1 и 2. (док-во аналогично)
Следовательно что? Что чисел в промежутках (1;2) и (1;бесконечность) - равное количество.
Следовательно, между двойкой и бесконечностью чисел нет вообще!?
P.P.P.S. А чему равна бесконечная сумма 1-1+1-1+1-1+...?