Теория чисел

[Dendr]

Эх, никогда мне не нравились все эти теории бесконечных множеств.

Дело все в том, что бесконечные множества разные бывают. Есть счетные (т.е. те, которые можно нумеровать, хоть и до бесконечности, но все же), есть бессчетные.

Вот рациональные числа - счетное множество.
А иррациональные (а с ними и действительные) - бессчетное. Работать с ними человеческий мозг в состоянии только до определенного момента, потом рассуждения "срываются" на счетное множество...

[AndrNiko]

1. Чему равно произведение всех положительных действительных чисел?

Возможно, не все поняли, что предыдущая страница рассуждений по этому поводу - не более чем шутка. Математически такое понятие не определено, и говорить о нём бессмысленно. Во всяком случае, я не знаю никаких определений произведения несчётного множества чисел. Кто знает - пусть меня поправит.

Если говорить о счётных множествах, то есть понятие произведения бесконечного ряда как предела частных произведений. Но произведение, например, всех рациональных чисел также не имеет смысла, т.к. нет естественного порядка расположения их в ряд. Существуют расположения, при котором произведение будет стремиться к нулю либо к бесконечности, но ни для какого иного числа невозможно упорядочить рациональные числа в ряд таким образом, что его произведение будет стремиться к этому числу.

[Antananarivu]

А произведение всех целых отрицательных чисел?

[Antananarivu]

В любом случае, ИМХО, это все до такой степени абстрактная вещь, что это лишь вопрос удобства и традиции. Ну вот как, допустим, условились в свое время считать факториал нуля равным единице, так и тут можно условиться считать это произведение равным единице или считать его неопределенным.

[AndrNiko]

А произведение всех целых отрицательных чисел?

Стремится к бесконечности. Плюс или минус - не определено.

[ЛевК]

Плюс или минус - не определено.

Значит не стремится

[Antananarivu]

Да-да, я тоже вроде как помню. Нельзя стремиться к "плюс-минус бесконечности", так говорить некорректно. Точнее, ИМХО, будет сказать - значение не определено.

[AndrNiko]

допустим, условились в свое время считать факториал нуля равным единице, так и тут можно условиться считать это произведение равным единице или считать его неопределенным.

Нет, не так. Факториал нуля естественно считать единицей. Если мы хотим каким-то образом распространить определение факториала на нуль, чтобы продолжали выполняться основные формулы, справедливые для факториалов, то у нас нет выбора. Потому что формула, определяющая факториал -

(n+1)! = n! * (n+1)

Подставляем n=0 - получаем 0! = 1.

С другой стороны, принятие определения 0! = 1 не приводит нас ни к каким противоречиям. Поэтому такое определение не только естественно, но и удобно.

А с произведением, например, всех положительных рациональных чисел - ситуация другая. Тут просто нет никакого естественного определения! Бессмысленно говорить о произведении бесконечного множества чисел, пока мы не придумали математически непротиворечивый способ, как его считать. Например, чему равно произведение всех рациональных чисел от 2 до 3? Интуитивно понятно, что никакое разумное определение не даст никакого иного результата, кроме плюс бесконечности, т.к. должно получиться не меньше, чем два в степени бесконечность. А бесконечность - это не число. Значит, ввести какое-то общее определение мы не можем. Можно условно считать, что произведение всех чисел множества равно единице, если для любого числа x из этого множества число 1/x также принадлежит этому множеству. Но что это нам даёт? Такое определение математически бесполезно, мы не можем на его основе выполнять какие-то вычисления или решать уравнения, поэтому ни в каких серьёзных математических работах оно не вводится.

Вывод один: "произведение всех положительных рациональных (действительных и т.п.) чисел" - математически бессмысленный набор слов. Можно вокруг него пофантазировать и попытаться придумать, какой бы смысл можно было бы ему придать, но общепринятого в математике смысла этот набор слов не имеет.

[Dendr]

Но произведение, например, всех рациональных чисел также не имеет смысла, т.к. нет естественного порядка расположения их в ряд. Существуют расположения, при котором произведение будет стремиться к нулю либо к бесконечности, но ни для какого иного числа невозможно упорядочить рациональные числа в ряд таким образом, что его произведение будет стремиться к этому числу.

Здрааасти! Как это "нет естественного порядка"?
Простая и понятная форма упорядочивания рациональных чисел следующая (под рациональными числами понимаем несократимые "целочисленные" дроби и целые числа):
(почему только нескоратимые? потому что у нас есть исходно числа, а вот их представление на бумаге - наше право. Хотим - в десятичной записи, хотим - в виде дробей: одно число - одна дробь, проичем удобнее, чтобы она была несократимой)

Берем натуральный ряд от 2 до бесконечности. Формируем "группы" дробей по суммам числителя и знаменателя по возрастанию числителя.
2: 1/1
3: 1/2, 2/1
4: 1/3, 2/2, 3/1 (2/2 - дробь сократимая, ее исключим)
5: 1/4, 2/3, 3/2, 4/1
...
N: 1/(N-1), 2/(N-2),... k/(N-k), (N-1)/1 (если есть сократимые - также выбрасываем)
...
В такой последовательности в группе "N" - (N-1) элемент минус сократимые дроби (кстати, интересно найти формулу их определения - но и должна быть готовая). Во всех группах от 2 до "N": N(N-1)/2 элементов минус сократимые. Нумерация не представляет особой сложности.
Пользуясь дистрибутивностью умножения рациональных (да и вообще чисел - вплоть до кватернионов) чисел, находим, что произведение ВСЕХ чисел равно произведению подпроизведений, где подпроизведение_N - есть произведение чисел в группе "N". А оно равно, очевидно, (N-p-1)!/(N-p-1)!=1. (p - число сократимых дробей)
Произведение же бесконечного числа единиц (не предела, стремящегося к единице, а строго единицы) есть ровно единица.

Если так не убедительно - то вот еще.
Разделим все рациональные числа на три группы.
А. Число 1.
Б. Все несократимые дроби, у которых числитель больше знаменателя.
В. Все несократимые дроби, у которых числитель меньше знаменателя.

Вы согласны с тем, что мощность Б и мощность В равны?
Каждому элементу подмножества Б соотвествует один, и только один элемент множества В. И наоборот. (соответствие определяется перестановкой числителя и знаменателя местами)
Итого, произведение всех рациональных положительных чисел - единица.

Можем ли мы задать границу групп, например, двойкой, как в случае действительных чисел (что в конечном счете приводит к парадоксу)?
Делим на три группы:
А'. 2
Б'. Несократимые дроби, где числитель по кр. мере в два раза превышает знаменатель. (3/1, 4/1... 5/2, 7/2, ... 7/3... )
В'. Остальные рац. числа. (числитель меньше удвоенного знаменателя)
Можно ли найти однозначное соответствие Б'-В'?
Что если попробовать взять соответствие x - 4/x?
x=n/m, где n>2m (2n>4m)
Если n - нечетное
4/x=4/(n/m)=4m/n, 4m<2n - т.е. получили элемент В'
Если n - четное, но не кратно 4. n=2k, k>m
4/x=4/(2k/m)=2m/k, 2m<2k, m<k
Если n=4s, 4s>2m, 2s>m
4/x=4/(4s/m)=m/s, m<2s

Итак, при переходе от Б' к В' мы однозначно получаем один элемент. Причем взаимно-однозначно (не существует двух разных x и y, для которых 4/x=4/y). Верно и обратное.
Следовательно, если мы однозначно перейдем от Б' к В', а потом опять однозначно от В' к Б', то должны получить множество, равное Б' (вообще говоря, не обязательно даже, чтобы обратный перевод приводил к тому же числу, с которого начали - важно, что получатся обязательно разные числа, и то же самое их количество). Следовательно... Мощность множества Б' равна мощности В'. Произведение их дает 4^P, где P - эта мощность, которая есть бесконечное число. Т.е. П=2^(2P+1)...

P.S. Хотел было написать опровержение, но на полпути понял, что наоборот, это будет доказательством.

P.P.S.
Вообще говоря, хоть множество рац.чисел и счетно, оно очень странное.
Вот пример: рассмотрим все рац.числа от нуля до единицы (исключая концы). Это есть числа, количество цифр в записи которых либо конечно, либо бесконечно, но периодично. Дробью: m/n, m<n
Если добавим единицу к каждому - получаем числа от 1 до 2. Их "ровно столько же", сколько и в первом случае. Дробью: (m+n)/n
Если возведем каждое в (-1)-ю степень - получаем числа от 1 до бесконечности. И их "ровно столько же". Дробью: n/m

Мы можем же заполнить "треугольную" таблицу бесконечных размеров этими числами. В ячейку (m;n) ставим три числа: m/n, n/m, (m+n)/n.
Первое - по определению, "все-превсе возможные" дробные части рац.чисел.
Второе - "все-превсе" числа, большие 1. Если это не так, то есть мы нашли такое число Х, которое не упомянуто в клетках таблицы, то... берем 1/Х, получаем неучтенную дробную часть. Противоречие.
Третье - "все-превсе" числа между 1 и 2. (док-во аналогично)
Следовательно что? Что чисел в промежутках (1;2) и (1;бесконечность) - равное количество.
Следовательно, между двойкой и бесконечностью чисел нет вообще!?

P.P.P.S. А чему равна бесконечная сумма 1-1+1-1+1-1+...?

[Dendr]

Нет, не так. Факториал нуля естественно считать единицей.

Кстати, если уж быть точным ничего не естественно. Факториал, по определению, это произведение чисел от 1 до n. Для нуля - бессмысленно.
Да, вообще говоря, факториал ("физически") - это количество перестановок из n предметов. 0 предметов, как ни переставляй, все равно получишь одно и то же.

Но факториал нуля - это всего лишь обобщение факториала.
По определению гамма-функции, Г(n+1)=n! (где n - натуральное число)
И вышло уж так, что Г(1)=1. (в отличие от Г(0) или Г(-10), равных минус бесконечности).

[Antananarivu]

Единственное, что я помню, что мощность любого отрезка прямой равна мощности всей прямой. Отсюда и все эти "парадоксы".

[Antananarivu]

Насколько я понимаю, Дэн, ты сам доказал, что с одной стороны произведение всех рациональных чисел равно единице, с другой стороны бесконечности, с третей нулю (соответственно, если брать (х, 1/х) (х,2/х) (х, 0,5/х)).
Отсюда, ИМХО, и проистекает, что это произведение не определено.

[AndrNiko]

Для справки и во избежание недоразумений: хоть я и не профессиональный математик (а программист-практик), но окончил механико-математический факультет БГУ, т.е. имею высшее математическое образование и основы математики знаю. Не потому, что такой умный, а просто меня этому специально учили.

Но произведение, например, всех рациональных чисел также не имеет смысла, т.к. нет естественного порядка расположения их в ряд.

Здрааасти! Как это "нет естественного порядка"?
Простая и понятная форма упорядочивания рациональных чисел следующая ...

Безусловно. Но "Простая и понятная" и "естественная" - это разные вещи. Под естественным порядком я понимаю такой, который вытекает из самой природы объектов. Например, для натурального ряда есть одно естественное упорядочение - по порядку номеров. Для рациональных чисел такого упорядочения нет. Можно упорядочить так, как ты написал, а можно несчётным множеством других способов, и там, может, найдутся не менее красивые, чем описанный.

Пользуясь дистрибутивностью умножения рациональных (да и вообще чисел - вплоть до кватернионов) чисел

(Очевидно, имеется в виду ассоциативность, а не дистрибутивность).
А вот на это мы не имеем права. Нахождение произведения бесконечного ряда - это не умножение в обычном смысле. Есть совершенно чёткое и недвусмысленное определение: произведение бесконечного ряда равно пределу последовательности частичных произведений. И если этот предел существует, то тогда действительно справедлив закон ассоциативности - мы можем группировать члены ряда как угодно, но предел всё равно будет существовать и будет тот же. Т.е. если мы доказали, что какой-то предел существует, то для его поиска можем пользоваться ассоциативностью. Но не наоборот: если при какой-то группировке предел существует, то отсюда не следует, что он существует и без группировки. Вот как в данном случае: сгруппировав и частично перемножив члены ряда, удалось привести его к другому ряду, произведение которого действительно существует и равно единице, но произведение исходного ряда не существует. Хотя бы потому, что не выполняется необходимое условие - члены ряда не стремятся к единице.

P.P.P.S. А чему равна бесконечная сумма 1-1+1-1+1-1+...?

То же самое: сумма не существует, т.к. частичные суммы равны попеременно 1 и 0, а такая последовательность не имеет предела. Значит, попытки вычислить предел путём группировки математически незаконны (бессмысленны). В зависимости от группировки мы можем "получить" либо 0, либо 1.

Математический мир бесконечных множеств - это, безусловно, интересный и удивительный мир. Но для меня как математика всё сказанное выше - давно уже (со студенческих лет) не откровение, для меня радость и удивление от знакомства с этим миром - давно пройденный этап (ох, где мои 18-20 лет...). А большинство нематематиков, боюсь, просто не оценят эту красоту, т.к. требуется некоторая подготовка и желание вникать в суть. Поэтому я не уверен, что имеет смысл развивать эту достаточно узкоспециальную, необщеинтересную и в общем-то "непрофильную" для форума тему. Это не задачки, где надо думать и фантазировать. Это либо изучал и знаешь, либо нет. А организовывать тут курсы по высшей математике не представляется целесообразным.