2 шляпы и 110 долларов

[Jesus Godlike]

Отец сказал сыну: Вот тебе две шляпы и 10 купюр по 10 долларов, и 10 купюр по 1 доллару. Ты можешь разложить их по двум шляпам, так ,чтобы, засунув руку в одну из шляп, ты с наибольшим шансом мог вытащить 10 долларов. Шляпы перед вытаскиванием я перемешаю(могу поменять, могу нет). Итак, вопрос: как нужно разложить купюры, чтобы шанс вытащить 10 долларов был максимальным?

[Antananarivu]

Не совсем понял условие.
Допустим так: в одну шляпу сложить все 10-тидолларовые купюры, в другую все 1-нодолларовые.
Вытащить из любой шляпы 1 бумажку:
а) если это 10 долларов - бинго!
б) если это 1 доллар - вытащить оставшиеся 9 бумажек по 1-му доллару - итого 10 долларов - бинго!

[Чива Ротсен]

Вытаскивать можно только одну купюру?

Положить в одну шляпу одну купюру в 10 баксов, а в другую — все остальные, — это правильное решение?

[stellinamama]

Сложить их стопками))) внизу долларовые, сверху - десятки, верхнюю из любой шляпы достаешь - однозначно десятка)))))

[Азарапетыч]

Сложить их стопками))) внизу долларовые, сверху - десятки

Купюры внутри шляпы тоже могут перемешаться...


А Чива правильно ответил, ага.

[Геля]

То бишь надо максимизировать функцию 0.5((x/x+y)+((10-x)/(20-(x+y))) - где X - число 10долларовых в одной шляпе и Y число однодолларовых в ней же. 0.5 вероятность выбрать одну из шляп, а все выражения в скобках условные вероятности вытащить 10баксов из каждой шляпы, и целиком функция - по формуле полной вероятности. Лень исследовать на максимум, но сдается мне ответ - поровну класть.

[fenix]

Да, насколько я помню это Гарднеровская задачка.

[Dendr]

То бишь надо максимизировать функцию 0.5((x/x+y)+((10-x)/(20-(x+y))) - где X - число 10долларовых в одной шляпе и Y число однодолларовых в ней же. 0.5 вероятность выбрать одну из шляп, а все выражения в скобках условные вероятности вытащить 10баксов из каждой шляпы, и целиком функция - по формуле полной вероятности. Лень исследовать на максимум, но сдается мне ответ - поровну класть.

Если поровну - так это ж будет 50%. Проще в одну шляпу класть все 10$, во вторую - все 1$.
А ответ, приведенный Чивой - 73.7%.

[Филь]

Надо просто однодолларовые купюры внутри шляпы спрятать за подкладку. Тогда вероятность вытащить десятидолларовую - будет стремиться к 100%.

[Dendr]

Надо просто однодолларовые купюры внутри шляпы спрятать за подкладку. Тогда вероятность вытащить десятидолларовую - будет стремиться к 100%.

Что ж вы все невнимательные такие? Или это уже юморим?
Купюры же там перемешают...

Кстати говоря - решение задачи становится более понятным, если брать не по 10 купюр каждого достоинства, а по миллиону.

С другой стороны - можно начать и так: сначала есть только по одной купюре каждого достоинства - всего два варианта разложения.
а) либо все, либо что-то: в одной шляпе пусто, во второй - 11 долларов. Тогда матожидание прибыли - 1/2*0+1/2*(1/2*1+1/2*10)=11/4=2.75$
б) "храните яйца в разных корзинах": в одной шляпе 1$, во второй - десятка. Матожидание: 1/2*1+1/2*10=11/2=5.5$
Ясно, что лучше уж (б) - ведь, кроме того, тогда десятка достается в 50% случаев.

Следующий случай - по две купюры. Здесь уже 5 случаев:
а) (0); (1 1 10 10). Очевидно, что доход здесь по прежнему 2.75$
б) (1); (1 10 10) Здесь: 1/2*1+1/2*(1/3*1+2/3*10)=4$
в) (10); (1 1 10) --> 1/2*10+1/2*(2/3*1+1/3*10)=7$
г) (1 1); (10 10) Как и в случае (б) для предыдущего варианта, 5.5$
д) (1 10); (1 10) --> 1/2*1+1/2*10=5.5$ (сокращенно записал, потому что здесь нет разницы, какую выбрать шляпу)
Случай (в) - видно, что лучше всего, вероятность достать 10$ равна 66,7%

А в качестве домашнего задания, предлагаю обобщить все это на случай миллиона купюр.

[St_Angelo]

Следующий случай - по две купюры. Здесь уже 5 случаев:
а) (0); (1 1 10 10). Очевидно, что доход здесь по прежнему 2.75$
б) (1); (1 10 10) Здесь: 1/2*1+1/2*(1/3*1+2/3*10)=4$
в) (10); (1 1 10) --> 1/2*10+1/2*(2/3*1+1/3*10)=7$
г) (1 1); (10 10) Как и в случае (б) для предыдущего варианта, 5.5$
д) (1 10); (1 10) --> 1/2*1+1/2*10=5.5$ (сокращенно записал, потому что здесь нет разницы, какую выбрать шляпу)
Случай (в) - видно, что лучше всего, вероятность достать 10$ равна 66,7%

Ну если случай (В) то можно сделать так: в одну шляпу одну купюру 10$, в другую шляпу все остальные купюры.
Тогда матожидание будет: (10); (десять купюр по 1 $+ девять купюр по 10$) --> 1/2*10+1/2*(10/19*1+9/19*10)=7.63$, вероятность не понял как рассчитать, где то 70%