Галстуки

Логические задачи

Модераторы: Азарапетыч, Администрация

Алексей Ухтинский
Литератор-любитель
Литератор-любитель
Сообщения: 352
Зарегистрирован: 23 июл 2011, 15:34

Галстуки

Сообщение Алексей Ухтинский »

Билл и Джо купили себе по синему и зелёному галстуку и играют в такую игру. Если на работу оба приходят в синих - Билл платит 1 доллар, если в разных - Джо платит 2 доллара, а если оба в зелёных - Билл платит 4 доллара. Как часто они таки ходят в одинаковых галстуках и кто кого дурачит?

Юляша
Популярный автор
Популярный автор
Сообщения: 3352
Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32
Пол: Женский

Re: Галстуки

Сообщение Юляша »

Игра честная.
Если оба придерживаются оптимальной стратегии, то (два синих):(разные):(два зеленых)=4:4:1.
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.

Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
Сообщения: 9061
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Пол: Мужской
Откуда: С большой дороги.

Re: Галстуки

Сообщение Шшок »

Если применять чисто вероятностный подход (каждый надевает галстук случайным образом), то матожидание прибыли Билла:
0.25х(-1)+0.5х2+0.25х(-4)=-0.25, то есть надевание галстука случайным образом явно в пользу Джона. Значит, оптимальная стратегия Джона в длинной серии игр - надевать галстук случайным образом.
Но если Джон будет каждое утро кидать монетку для выбора цвета галстука, то оптимальной стратегий для Билла будет постоянное ношение синего галстука. И видя, что Билл все время ходит в синем галстуке, Джон тоже начнет ходить в синем... и тут в какой-то момент Билл внезапно надевает зеленый...
Короче, что-то тут не так. :D
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.

Аватара пользователя
pinkiepurr
Популярный автор
Популярный автор
Сообщения: 1341
Зарегистрирован: 07 окт 2019, 10:56
Пол: Женский

Re: Галстуки

Сообщение pinkiepurr »

а может быть такое, что кто-то из них приносит оба галстука и надевает свой только когда видит в чем второй пришел?)))
акуна матата 🦁

Аватара пользователя
Elenora
Популярный автор
Популярный автор
Сообщения: 1157
Зарегистрирован: 07 окт 2019, 21:42
Пол: Женский
Откуда: Москва

Re: Галстуки

Сообщение Elenora »

Получается, что Биллу вообще невыгодно зелёный галстук надевать. Так он за 2 синих по $1 платит, а если зелёные совпадут, то заплатит все $4. А так есть надежда, что Джо будет периодически зелёный надевать и хоть по $2 отыграет.
Но все это мутно как-то. Наденет - не наденет....
По логике выходит, что Джо дурит Билла, но интуиция подсказывает, что наоборот.
Чем больше мы ждем, тем меньшего можем ожидать.

Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
Сообщения: 9061
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Пол: Мужской
Откуда: С большой дороги.

Re: Галстуки

Сообщение Шшок »

pinkiepurr писал(а):
08 мар 2021, 12:49
а может быть такое, что кто-то из них приносит оба галстука и надевает свой только когда видит в чем второй пришел?)))
Причем, второй делает то же самое. В результате - оба без галстуков, смотрят друг на друга и ржут. :lol:
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.

Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
Сообщения: 9061
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Пол: Мужской
Откуда: С большой дороги.

Re: Галстуки

Сообщение Шшок »

Юляша писал(а):
07 мар 2021, 00:42
Игра честная.
Если оба придерживаются оптимальной стратегии, то (два синих):(разные):(два зеленых)=4:4:1.
Юляша все-таки молодец, разделала задачку под орех. Если бы она еще объяснила, в чем суть оптимальной стратегии за Билла и Джо, цены бы ей не было. А так - сижу и чувствую себя увечным каким-то...
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.

Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
Сообщения: 9061
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Пол: Мужской
Откуда: С большой дороги.

Re: Галстуки

Сообщение Шшок »

На самом деле, из условия как бы следует, что начальная оптимальная стратегия Билла должна состоять в ношении синего галстука. Почему? Да потому, что зеленый галстук не дает ему НИКАКИХ преимуществ. Зеленый галстук способен только увеличить его проигрыш и никак не влияет на выигрыш. Но ведь в этой ситуации Джо тоже будет носить синий галстук. Вопрос: сколько раз оба должны появиться на работе в одинковых синих галстуках, прежде чем Билл опомнится и наденет зеленый? Казалось бы, два раза. Билл за эти два раза проиграет 2 доллара, и на третий раз захочет их отыграть. Итак, на третий день Билл приходит в зеленом галстуке в надежде, что Джо по-прежнему придет в синем. Но Джо не дурак. Он просчитывает мысли Билла и надевает зеленый. Расстроенный Билл вручает Джону еще 4 бакса...
Короче, задачка на тему "я знаю, что ты знаешь, что я знаю..."
А если в первый же день Билл вопреки логике наденет зеленый галстук? Ведь Джо наверняка думает, что Билл придет в синем галстуке!.. Итак, Джо тупо приходит в синем галстуке, а Билл - внезапно в зеленом. 4 бакса в кармане у Билла. Но чтобы Джо так нелепо затупил??? Не может такого быть! Джо - далеко не дурак. Он заранее просчитывает хитроумного Билла на десять шагов вперед... и тоже надевает зеленый галстук!!! Но ведь и Билл не дурак. Билл знает, что Джо знает, что Билл знает.....
Последний раз редактировалось Шшок 09 мар 2021, 12:47, всего редактировалось 1 раз.
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.

Аватара пользователя
pinkiepurr
Популярный автор
Популярный автор
Сообщения: 1341
Зарегистрирован: 07 окт 2019, 10:56
Пол: Женский

Re: Галстуки

Сообщение pinkiepurr »

Шшок писал(а):
09 мар 2021, 09:46
pinkiepurr писал(а):
08 мар 2021, 12:49
а может быть такое, что кто-то из них приносит оба галстука и надевает свой только когда видит в чем второй пришел?)))
Причем, второй делает то же самое. В результате - оба без галстуков, смотрят друг на друга и ржут. :lol:
:D да, или в условии пропущено, что приход без галстука дает плюсики Биллу, а то его обделили как-то, минус доллар, минус 4, у Джо заранее уже или одни плюсы или минус всего 2)
но да, там если Билл не платит все время, то теряет 1 бакс, в другой день Джо отдает его обратно и свой такой же 1 бакс. деньги ходят туды-суды
акуна матата 🦁

Аватара пользователя
Elenora
Популярный автор
Популярный автор
Сообщения: 1157
Зарегистрирован: 07 окт 2019, 21:42
Пол: Женский
Откуда: Москва

Re: Галстуки

Сообщение Elenora »

-Штирлиц, а вас я попрошу остаться...
Штирлиц, сколько будет дважды два?
Голос за кадром : "Штирлиц-то конечно знает. Он думает, знает ли об этом Мюллер...."
Чем больше мы ждем, тем меньшего можем ожидать.

Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
Сообщения: 9061
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Пол: Мужской
Откуда: С большой дороги.

Re: Галстуки

Сообщение Шшок »

Получается интересная штука: оптимальная стратегия Билла - носить синий галстук. Но эта стратегия работет только если Джо каждое утро кидает монетку. Иначе получается "ты знаешь, что я знаю...".
С другой стороны, оптимальная стратегия Джо - носить зеленый галстук. Но это также работает только в том случае, если Билл кидает монетку.
Если каждый из них будет придерживаться этой "оптимальной" стратегии, то Джо скоро останется не только без галстуков, но и без штанов.
В общем, я не вижу никакой оптимальной стратегии... Разве что оба будут каким-то образом выбирать цвет галстуков в зависимости от результатов предыдущих игр. Но тогда получается чистой воды "ты знаешь, что я знаю", потому что каждый из них не дурак и просчитывает стратегию соперника (если такая стратегия вообще существует).
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.

Юляша
Популярный автор
Популярный автор
Сообщения: 3352
Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32
Пол: Женский

Re: Галстуки

Сообщение Юляша »

Оптимальная стратегия одинакова для обоих участников.

Каждый из них утром бросает игральный кубик. Если выпадает от 1 до 4 - он надевает синий галстук. Если выпадает 5 или 6 - он надевает зеленый галстук.
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.

Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
Сообщения: 9061
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Пол: Мужской
Откуда: С большой дороги.

Re: Галстуки

Сообщение Шшок »

Юляша писал(а):
09 мар 2021, 13:43
Оптимальная стратегия одинакова для обоих участников.

Каждый из них утром бросает игральный кубик. Если выпадает от 1 до 4 - он надевает синий галстук. Если выпадает 5 или 6 - он надевает зеленый галстук.
Это стратегия, которая искусственным образом приравнивает к нулю математические ожидания выигрышей обоих игроков в длинной серии игр. Но почему эта стратегия является оптимальной для каждого из них???
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.

Юляша
Популярный автор
Популярный автор
Сообщения: 3352
Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32
Пол: Женский

Re: Галстуки

Сообщение Юляша »

Шшок писал(а):
09 мар 2021, 14:21
эта стратегия является оптимальной для каждого из них???
Подобные задачи изучает теория игр. В данном случае мы имеем классическую дискретную игру. У каждого из игроков имеются две стратегии: "надеть синий галстук" или "надеть зеленый галстук" и результат игры зависит исключительно от того, какую из стратегий выбрал каждый из участников.

Для такого рода игр (число стратегий может быть больше двух) строго математически доказано, что для каждого из игроков существует оптимальная вероятностная стратегия, гарантирующая максимально возможный выигрыш, причем никакое отклонение от этой стратегии не принесет пользы.

В данном случае если считать, что Билл надевает синий галстук с вероятностью p, а зеленый с вероятностью q, а для Джо соответствующие вероятности - r и s, то получим, что средний выигрыш Билла составит -pr+2(qr+ps)-4qs. Дальше, с учетом того, что p+q=1 и r+s=1, находятся оптимальные вероятности.
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.

Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
Сообщения: 9061
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Пол: Мужской
Откуда: С большой дороги.

Re: Галстуки

Сообщение Шшок »

О как... теперь ясно.
Но как решать эту задачу человеку, не знакомому с теорией игр? Да, в этой задаче наверное можно путем каких-то логических размышлений прийти к стратегии, при которой игра становится честной. Но доказать, что это и есть оптимальная стратегия для обоих игроков, без спецзнаний просто невозможно.
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.

Ответить

Вернуться в «Задачки»