Задача с квадратным уравнением

[Dendr]

Ренди: Привет, Рейчел, ты написала интересное квадратное уравнение. Каковы его корни?

Рейчел: Его корнями являются два натуральных числа. Один из корней – мой возраст, другой – возраст моего младшего брата Джимми.

Ренди: Это очень изящно! Посмотрим, смогу ли я вычислить, сколько лет тебе и сколько Джимми. Это не должно быть сложным, ведь коэффициенты твоего уравнения – целые числа. Кстати, я заметил, что сумма всех трёх коэффициентов – простое число.

Рейчел: Интересно. Так посчитай, сколько мне лет.

Ренди: Вместо этого я попытаюсь угадать твой возраст и подставить его вместо x… Хм, получилось 55, а не 0.

Рейчел: Уйди, противный!

Определите возрасты Джимми и Рейчел.

[team55]

– 55
это тире или минус?

[Dendr]

– 55
это тире или минус?

Тире. Подправил.

[Прохожий]

Судя по низкой активности, задачка непростая. Ничего, если порассуждаю "вслух"?

1. Рэйчел назвала Рэнди противным. Я бы предположил, что Рэнди ошибся с ее возрастом в бОльшую сторону.
2. Тогда парабола у=ax^2+bx+c ориентирована "рогами" вверх, а значит коэффициент а>0.
3. Оба корня положительны. В этом случае теорема Франсуа Виета дает нам b<0 и с больше 0

Что делать дальше пока не знаю

[Лазков Йончер]

f(x)=ax^2+bx+c=a(x-r)(x-j), где r -- возраст Рейчел, j -- возраст Джимми.
Имеем a(x0-r)(x0-j)=55=11*5, где x0 -- предположительный возраст Рейчел. Варианты:
1) a=1. Тогда или x0-r=1<55=x0-j, что соверщенно неправдоподобно, или x0-r=5<11=x0-j, что тоже вряд ли, потому что, как выходит, Ренди ошибся на пять лет (!).
2) a=5. Тогда x0-r=1<11=x0-j. В принципе, Рейчел может быть старше брата на 10 лет.
3) a=11. Тогда x0-r=1<5=x0-j. Более вероятно, чем (2).
4) a=55. Тогда x0-r=1=x0-j, что тоже возможно.
Выбирайте! А вообще конечным перебором должно решиться, 0<j<r<100.

[Valentin]

Пока у меня выходит только то, что сумма действительного и приписываемого возрастов Рэйчел равна 55-ти. Варианты 11 и 5 можно смело отмести. Отсюда же следует что ay-ax-b=1, где y - приписываемый возраст, x - действительный, a и b соответственно 1-й и 2-й коффициенты уравнения Рэйчел.

[Valentin]

Интересная петрушка получается

x1+x2=(-b/a)
x1*x2=c/a

Но по условию у нас
a-b+c=prime
откуда следует что b=c и a=prime. Т.е. дискриминант равен нулю, но тогда b²= 4*a*b, следовательно b=4*a.

[Dendr]

Но по условию у нас
a-b+c=prime

С чего бы? По условию
a+b+c=prime

[Valentin]

С чего бы? По условию
a+b+c=prime

С того, что 2-й коэффициент уравнения идёт с отрицательным знаком, иначе мы получим отрицательное значение для одного из возрастов, чего не может быть по определению.

[Dendr]

С чего бы? По условию
a+b+c=prime

С того, что 2-й коэффициент уравнения идёт с отрицательным знаком, иначе мы получим отрицательное значение для одного из возрастов, чего не может быть по определению.

Ну. Или в (a-b+c) подразумеваются модули?

[Valentin]

Ну в любом случае a=1. А к возрасту было приплюсовано (b+1). Варианты что уравнение составила 5-ти или даже 2-х летняя девочка не расматриваем.
Вариант c-b+1=prime уже рассмотрен и решения не имеет, остаётся c+b+1,
из чего следует что c и b имеют одинаковый показатель чётности.

[Dendr]

Ну в любом случае a=1. А к возрасту было приплюсовано (b+1).

А это откуда взялось?

[Прохожий]

Интересная петрушка получается
x1+x2=(-b/a)
x1*x2=c/a
Но по условию у нас
a-b+c=prime
откуда следует что b=c и a=prime. Т.е. дискриминант равен нулю, но тогда b²= 4*a*b, следовательно b=4*a.

1. Можно поподробнее, почему получилось b=c и a=prime?
2. Дискриминант не может быть равен 0, так как по условию имеется младший брат.

[Valentin]

ax²-bx+c=0
ay²-by+c=55
x - реальный возраст, y - предполагаемый
ay²-ax²-by+bx=55
a(y-x)(y+x)-b(y+x)=55
(y+x)((a(y+x)-b))=55
Ну исходя из здравого смысла x+y=55, тогда
a(y+x)-b=1
а для варианта [a]++[c]=prime a может равняться только единице
y=b-x+1, т.е было приплюсовано к возрасту (b-1).
Правда я ещё не рассматривал варианты
[a-b+c]=prime и -ax²+bx-c=0

[Dendr]

ay?-ax?-by+bx=55
a(y-x)(y+x)-b(y+x)=55
(y+x)((a(y+x)-b))=55

Э? Тут все так?