Задача с квадратным уравнением

[Dendr]

И еще разок... Ренди не настолько туп - может, он и не может угадать возраст Рейчел, хотя судя по всему, он с ней знаком (ну да ладно), но сумма коэффициентов и сумма модулей коэффициентов, все-таки, разные вещи.

[Valentin]

1. Можно поподробнее, почему получилось b=c и a=prime?
2. Дискриминант не может быть равен 0, так как по условию имеется младший брат.

1.Из теоремы Виетта и условия задачи.
b должно делиться на a и c должно делиться на a. Т.е b=ma, c=na. При условии что коэффициенты суммировались с учётом знака получаем
a-ma+na=prime
a(1-m+n)=prime откуда m=n, следовательно b=c и следовательно дискриминант равен нулю. Условию задачи это не противоречит, т.к. брат может быть младше на 364 дня, а у Рэйчел завтра день варенья, но при b = c и к тому же это безобразие кратно a, такого безобразия быть не могёт.

[Dendr]

a(1-m+n)=prime откуда m=n, следовательно b=c и следовательно дискриминант равен нулю

Не понял перехода к нулевому дискриминанту.

[Прохожий]

Ну исходя из здравого смысла x+y=55

Ну почему же? Они там типа флиртуют. Чего бы парню из вредности не подставить 40 вместо 20?

а для варианта [a]++[c]=prime a может равняться только единице

Почему? Я правда не догняю. Простое число это которое только на себя и на 1 делится? Да его вроде из трех каких угодно слагаемых можно собрать. Или нет?

[Прохожий]

1.Из теоремы Виетта и условия задачи.
b должно делиться на a и c должно делиться на a. Т.е b=ma, c=na. При условии что коэффициенты суммировались с учётом знака получаем
a-ma+na=prime
a(1-m+n)=prime откуда m=n...

Теперь понял. Дык что, у нас правда или а=1, или b=c?

[Dendr]

a-ma+na=prime
a(1-m+n)=prime откуда m=n...

Теперь понял. Дык что, у нас правда или а=1, или b=c?

Точнее, одно из двух. (1 же не считается простым)

[Valentin]

Не понял перехода к нулевому дискриминанту.

При условии b=c получаем x1+x2=x1*x2, откуда x1=x2=2, т.е. полный бред. А нулевой дискриминант это уже так, попутно.

[Лазков Йончер]

Подбором нашел вариант. Рейчел 8 лет, Джимми 2 года. Уравнение с a=1, b=-10, c=16; a+b+c=7. Ренди вместо 8 подставляет 13 и получает не 0, а 55.
Единственность, как всегда, обещаю, но не гарантирую.

[Valentin]

Ну почему же? Они там типа флиртуют. Чего бы парню из вредности не подставить 40 вместо 20?

Это запросто, я толкую о том, что сумма реального и предполагаемого возрастов может быть либо 55, либо 11, либо 5, второе и третье предположение бред, а исходя из первого можно сделать вывод что Рэйчел не более 27-ми лет.

[Dendr]

что сумма реального и предполагаемого возрастов может быть либо 55, либо 11, либо 5

ay?-ax?-by+bx=55
a(y-x)(y+x)-b(y+x)=55
(y+x)((a(y+x)-b))=55

Проверяй себя!

[Valentin]

Проверяй себя!

Да понял уже, забыл знак внутри скобок сменить.

[Dendr]

Ну, поскольку весь запал пропал, то готов выложить свое решение.
В источнике, надо сказать, ответа не было, поэтому пришлось своими силами, как говорится, мучаться.

Но с учетом кое-каких вышеизложенных мыслей, расширил свое решение. Ответ от этого не изменился (он уже прозвучал)

Рассмотрим это уравнение, пусть коэффициенты a, b, c.
Подставим в уравнение настоящий возраст x0 и возраст с ошибкой delta. Тогда можем выразить b и c через a, x0 и delta.
Обратим внимание, что на месте x0 может стоять и возраст Рейчел, и возраст Джимми (только delta разные)

Очевидно, delta - делитель 55.

Ренди сказал, что сумма коэффициентов равна простому числу. Но, может быть, Ренди имел в виду модули? Ничего страшного, проверим и эту возможность. Одно мы знаем (из теоремы Виета и натуральности решений): знаки a и c - одинаковы, у b - противоположный им. Отсюда получаем:

(правая часть принимает знак "минус" при a<0)

Обозначим коэффициент перед b, как s. Он может быть либо 1, либо -1. Подставляя b и c, получаем:


Одно из двух - либо (x-s)=1, а правая скобка - простое (возможно, со знаком "минус"), либо скобка равна 1 по модулю, а x-s - простое.
В первом случае такое возможно, только если x0=2, s=1 (сложение самих коэффициентов, а не модулей). Т.е. Джимми два года (ибо вряд ли Рейчел 2 года). Запомним эту возможность.
Во втором случае мы можем выразить a через x0, delta и s, и подставить в выражение c. Упрощая, получим выражение для c/a, равное произведению корней уравнения. Одно из них - x0, другое обозначим x', и запишем выражение для него.

Поскольку x'>0 (строго больше) и целое, то можно видеть, что это может быть только при a=s=1. Тогда x'=2.

Мы имеем право повторить все действия и для x0=2 (Ренди имел право угадывать и возраст Джимми, только ошибиться больше пришлось бы).
Тогда получаем:
delta+1-(55/delta) - простое число, больше нуля. Видно, что delta=11.
Отсюда восстанавливаем остальные коэффициенты: b=-10, с=16.
И возраст Рейчел - 8 лет.
Тогда как Ренди подставлял 13. Акселерация, вестимо...

[ADSemenov.ru]

____ Я уж было собрался выложить решение, а Вы уже тут как тут.

____ Замечу, что любой паре целых корней квадратного уравнения соответствует некая "первообразная" форма уравнения с коэффициентом а=1. Из неё можно получить путём умножения все остальные формы. Но сумма коэффициентов при этом не будет простым числом. Поэтому в этой задаче при квадрате должен стоять коэффициент 1.

____ Из условия "55" следует два варианта решения: один с разницей в годах 6 лет, другой — 54 года.
____ Первый вариант допускает толко один ответ: 8 лет и 2 года.
____ Второй вариант по смыслу задачи не проходит, но если считать брата и сестру не людьми, а троллями, гномами и пр., то есть, теми, чья продолжительность жизни неизвестна, то можно вполне искать ответы и по второму варианту. При этом вопрос упирается только в поиск таких значений n в выражении 4*n^2-112*n+55 при которых выражение равно простому числу. А это очень непросто, если вообще возможно.

[ADSemenov.ru]

____ Вобще-то трёхчлен 4*n^2-112*n+55 раскладывается на множители (2n-1)(2n-55).
____ Таким образом не существует простых чисел такого вида и у задачки есть только один единственный ответ. Это здорово.