Сумасшедшая старушка в театре

[Чива Ротсен]

Есть зрительный зал на 1000 мест. Есть 1000 человек, купивших билеты на конкретные места.

Да вот беда. Первой в зал зашла сумасшедшая старушка, которая села не на место, указанное в ее билете, а на первое попавшееся. За ней заходит следующий, уже нормальный человек. Ищет свое место. Если оно свободно, то садится на него; если занято, то садится на первое попавшееся. Потом заходит следующий и поступает точно так же. И так далее.

Какова вероятность того, что последний зашедший в зал человек сядет на свое законное место?

[team55]

0.5
Либо сядет, либо не сядет

[Avgustina]

Ну, если из 1000 человек, купивших билеты - все пришли, никто не передумал - тогда у последнего, тысячного, нет никаких шансов

Хотя... смотря какое место было в старушкином билете. Если не в самом углу, то его мог занять любой из 998, и тогда последний сядет на своё.

[Versus]

0.5
Либо сядет, либо не сядет :)

Совершенно конгруэнтен :)

[team55]

Упс... Ошибся

В такой формулировке вероятность - 0,4995.

[Азарапетыч]

смотря какое место было в старушкином билете. Если не в самом углу,

В условии "первое попавшееся"- это не значит, что место с краю. Это означает, грубо говоря, любое свободное.

[Павел Мальдинин]

на вскидку, без расчетов

1 к 1000, или меньше

[Шшок]

ИМХО, так:

Если сумасшедшая бабуля случайно села на свое место (вероятность этого равна 1/1000), то последний попадет на свое место с вероятностью 1.
Если же бабуля села не на свое место (вероятность этого равна 999/1000, то вероятность того, что законное место последнего окажется свободным, равна 1/999.
Значит, полная вероятность того, что последний сядет на свое законное место, равна 1/1000*1 + 999/1000*1/999 = 0.002

[Чива Ротсен]

Павел Мальдинин, Шшок, - не верно.
Team55, можешь пояснить?

[ЛевК]

Наверное надо рекурсивно. Пусть Ф(К) вероятность для К человек.
Ф(К) = 1/К + (К-1)*Ф(К-1).
Тогда:
Ф(2) = 1/2
Ф(3) = 1/3+2/3*1/2=2/3
Ф(4)=1/4+3/4*2/3=3/4
...
Получается Ф(1000)= 999/1000 !!!
Офонареть! (Если конечно я не ошибся.)

[Шшок]

Интересно...

Малость порассуждав, я получил такую формулу для вычисления вероятности того, что место последнего будет занято (я не утверждаю, что эта формула верна):

1/1000 * (1/999+1/998+1/997+....+1/2)

Это равно 0.006485

Значит, искомая вероятность равна 0.993515. Действительно, ни фига себе...

[Avgustina]

Нет, интуитивно должно быть что-то около 0,5, а как цифрами доказать - всё уже позабывала...
Фактически, надо посчитать, какова вероятность того, что место последнего чувака не заняла ни старушка, ни другие зрители, которым пришлось садиться на чужие места.

[Avgustina]

Значит, так
Вероятность того, что старушка села на своё место 1/1000

Вероятность того, что второй сядет на своё место 999/1000 (1/1000 - вероятность, что именно его место заняла старуха)

Вероятность того, что третий сядет на своё место (т.е., что место третьего не занято ни старухой, ни вторым челом) - уже сложней.
Во-первых, существует вероятность (1/1000), что старуха села именно на своё место. Тогда все остальные сядут на свои места.
Вероятность, что старуха сидит не на своём месте 999/1000, вероятность, что при этом она сидит не на месте второго 998/1000 (она же из тысячи выбирала)
Вероятность, что старуха сидит на месте второго, и именно второй занял место третьего: 1/1000*1/999. Плюс 1/1000 (вероятность, что старуха заняла место третьего)

бррр, запуталась

[freddy]

Хмм... 0.499 получилось.

[team55]

1 Пусть бабка может садиться случайно на любое место (в т.ч. и своё)
2 Пусть зал состоит не из 1000 мест, а всего из 2

тогда крэйзи бабка либо сядет на чужое (50%), либо на своё (50%) место. Норми - соответсно, тоже.

3 Пусть зал состоит не из 1000 мест, а всего из 3, тогда:

а) с вер-тью 1/3 на 3-е место сядет бабка
б) если бабка на 3-е место не села (в 2/3 случаев), туда сядет или не сядет (по 50%) норми №1
в) Норми №2 имеет шанс сесть на место: 1-(1/3+1/3х1/2) = опять 50%

4 Пусть зал состоит не из 1000 мест, а всего из 4, тогда:

а) блаблабла...(аналогично, лениво подробно расписывать)
...
г) Норми №3 имеет шанс сесть на место: = опять 50%

...итд. Аналогично можно расписать и для норми №999 - более чем уверен; опять получится 50%.


НО! По условию, бабка на своё собсное место приземлиться не может!

В написанном выше варианте она на своё место садилась случайно, с вер-тью 0,001.

Соответсно, это событие из ответа исключаем.

Итого: (999/1000)х0,5 = 0,4995.

Вроде так.