И снова из того же учебника

Логические задачи

Модераторы: Азарапетыч, Администрация

И снова из того же учебника

Сообщение Шшок » 24 янв 2016, 16:15

А как вам такая задачка?

Решить неравенство:

(2- SQRT(3))^(1/x) + (2+SQRT(3))^(1/x) - 2 < 0

Ужас, как неудобно записывать формулы. Если кому-то непонятно, перевожу на русский:

Корень иксовой степени из (2 минус корень из 3) + корень иксовой степени из (2 плюс корень из 3) - 2 < 0
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.
Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
 
Сообщения: 8577
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Откуда: С большой дороги.

Re: И снова из того же учебника

Сообщение Dendr » 27 янв 2016, 00:08

Если обозначить одно слагаемое с корнем, как Y, то второе будет равно 1/Y. (проверяется легко, но догадаться до этого "с нуля"... не знаю как)

То есть на первом этапе надо решить более простое неравенство Y+1/Y-2<0, или (Y-1)^2 / Y <0.
Видно, что решение его - Y<0.

[Так как задачка школьная, то извлечение корня подразумевает только первую ветвь]
Однако, так как корень x-й степени из положительного числа (оба подкоренных выражения >0) - число положительное, то Y>0.

Следовательно, обе части неравенства домножаются на Y без изменения знака: (Y-1)^2 < 0, что не выполняется ни при каких Y, а значит и x.
Аватара пользователя
Dendr
Акула пера
Акула пера
 
Сообщения: 5717
Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
Откуда: Раменское, Мос.обл.

Re: И снова из того же учебника

Сообщение Шшок » 27 янв 2016, 09:39

Dendr писал(а):Если обозначить одно слагаемое с корнем, как Y, то второе будет равно 1/Y. (проверяется легко, но догадаться до этого "с нуля"... не знаю как)


Да, именно так.
В учебнике эта задача приведена в качестве примера, и выдается ее полное решение с такими пояснениями: поскольку неравенство иррациональное, причем переменная находится в показателе степени, общего метода решения такого неравенства в рамках школьной программы найти не удается. А значит, придется искать искусственный метод решения, целиком находящийся в рамках школьной программы. Если перенести двойку в правую часть неравенства, то мы видим, что требуется сравнить сумму неких двух чисел с числом 2. А это может навести на подозрение, что речь идет об известном неравенстве, согласно которому сумма двух взаимно обратных чисел не может быть меньше двух. Поэтому проверим, не являются ли слагаемые взаимно обратными.... ну а дальше все, как ты и написал.
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.
Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
 
Сообщения: 8577
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Откуда: С большой дороги.

Re: И снова из того же учебника

Сообщение Юляша » 27 янв 2016, 15:55

Задач "повышенной сложности", в которых фигурируют a+sqrt(b) и a-sqrt(b) видимо-невидимо.

При этом они часто несложные, но формулировка задания может вызывать у школьника шок и ступор.
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.
Юляша
Популярный автор
Популярный автор
 
Сообщения: 3162
Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32


Вернуться в Задачки

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

cron