danetka.ru

А как вам такая задачка?

Решить неравенство:

(2- SQRT(3))^(1/x) + (2+SQRT(3))^(1/x) - 2 < 0

Ужас, как неудобно записывать формулы. Если кому-то непонятно, перевожу на русский:

Корень иксовой степени из (2 минус корень из 3) + корень иксовой степени из (2 плюс корень из 3) - 2 < 0

Если обозначить одно слагаемое с корнем, как Y, то второе будет равно 1/Y. (проверяется легко, но догадаться до этого "с нуля"... не знаю как)

То есть на первом этапе надо решить более простое неравенство Y+1/Y-2<0, или (Y-1)^2 / Y <0.
Видно, что решение его - Y<0.

[Так как задачка школьная, то извлечение корня подразумевает только первую ветвь]
Однако, так как корень x-й степени из положительного числа (оба подкоренных выражения >0) - число положительное, то Y>0.

Следовательно, обе части неравенства домножаются на Y без изменения знака: (Y-1)^2 < 0, что не выполняется ни при каких Y, а значит и x.

Dendr писал(а):Если обозначить одно слагаемое с корнем, как Y, то второе будет равно 1/Y. (проверяется легко, но догадаться до этого "с нуля"... не знаю как)

Да, именно так.
В учебнике эта задача приведена в качестве примера, и выдается ее полное решение с такими пояснениями: поскольку неравенство иррациональное, причем переменная находится в показателе степени, общего метода решения такого неравенства в рамках школьной программы найти не удается. А значит, придется искать искусственный метод решения, целиком находящийся в рамках школьной программы. Если перенести двойку в правую часть неравенства, то мы видим, что требуется сравнить сумму неких двух чисел с числом 2. А это может навести на подозрение, что речь идет об известном неравенстве, согласно которому сумма двух взаимно обратных чисел не может быть меньше двух. Поэтому проверим, не являются ли слагаемые взаимно обратными.... ну а дальше все, как ты и написал.

Задач "повышенной сложности", в которых фигурируют a+sqrt(b) и a-sqrt(b) видимо-невидимо.

При этом они часто несложные, но формулировка задания может вызывать у школьника шок и ступор.