Страница 1 из 1

И снова задача из израильского учебника математики

Добавлено: 13 янв 2016, 10:39
Шшок
В израильском учебнике нашел очень симпатичную задачу. Ясно, что она не выходит за пределы школьного курса и по сути очень проста. Но, ИМХО, такие задачи учат думать, а это очень ценно. Решение, кстати, в учебнике не приводится.

Доказать, что для любого конечного набора произвольных рациональных чисел существует такая арифметическая прогрессия, что все эти числа являются ее членами.

Re: И снова задача из израильского учебника математики

Добавлено: 13 янв 2016, 12:06
Юляша
Как-то уж очень просто и нет уверенности, что учит думать.

1. Начнем с того, с чего всегда на всякий случай начинаем, когда речь идет о конечном множестве рациональных чисел.
2. Ээээ. Больше ничего и не надо, утверждение задачи очевидно, заодно и разность прогрессии найдена.

Re: И снова задача из израильского учебника математики

Добавлено: 13 янв 2016, 14:12
Шшок
Юляша писал(а):Как-то уж очень просто и нет уверенности, что учит думать.
Это для тебя просто. Для меня тоже. А вот для школьника...
Во-первых, ему необходимо вспомнить определение рационального числа. Во-вторых, сообразить представить каждый член множества в виде несократимой дроби. В-третьих, сообразить насчет наименьшего общего кратного... Короче, тут далеко не тривиальные (в рамках школьной программы) шаги.

Re: И снова задача из израильского учебника математики

Добавлено: 19 янв 2016, 21:52
Dendr
1) Выстраиваем по возрастанию и вычитаем из каждого члена набора наименьший элемент - чисто для удобства и наглядности.
Если члены исходного входят в некую прогрессию, то и члены нового набора входят в какую-то другую прогрессию. (и наоборот)

2) Теперь мы имеем дело с набором рациональных чисел, то есть несократимых дробей 0<a/b<c/d<e/f<... где a, b, c, d, ... - целые числа. По определению рациональных чисел, существует такое N, что домножив все эти числа на него, получим целые

3) Новый набор выглядит так: 0<A<B<C<...

То есть задача свелась к следующей: надо доказать, что возрастающая (от нуля) последовательность натуральных чисел входит в некую арифметическую прогрессию. Очевидно, что таковая существует, по крайней мере, прогрессия с инкрементом 1.

Re: И снова задача из израильского учебника математики

Добавлено: 20 янв 2016, 12:31
Шшок
Ну да. Я решал чуть проще. Каждое число представляется в виде несократимой дроби (правильной или неправильной) m1/n1, m2/n2, m3/n3 и так далее. Затем ищется наименьшее общее кратное чисел n1, n2, n3.... Ясно, что в общем случае искомой прогрессией будет прогрессия, у которой первый член равен наименьшему числу в наборе, а разность равна 1/НОК (n1, n2, n3....).
Согласись, что для школы задачка не слишком тривиальна.