И снова задача из израильского учебника математики

Логические задачи

И снова задача из израильского учебника математики

Сообщение Шшок » 13 янв 2016, 10:39

В израильском учебнике нашел очень симпатичную задачу. Ясно, что она не выходит за пределы школьного курса и по сути очень проста. Но, ИМХО, такие задачи учат думать, а это очень ценно. Решение, кстати, в учебнике не приводится.

Доказать, что для любого конечного набора произвольных рациональных чисел существует такая арифметическая прогрессия, что все эти числа являются ее членами.
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.
Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
 
Сообщения: 8499
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Откуда: С большой дороги.

Re: И снова задача из израильского учебника математики

Сообщение Юляша » 13 янв 2016, 12:06

Как-то уж очень просто и нет уверенности, что учит думать.

1. Начнем с того, с чего всегда на всякий случай начинаем, когда речь идет о конечном множестве рациональных чисел.
2. Ээээ. Больше ничего и не надо, утверждение задачи очевидно, заодно и разность прогрессии найдена.
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.
Юляша
Популярный автор
Популярный автор
 
Сообщения: 3115
Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32

Re: И снова задача из израильского учебника математики

Сообщение Шшок » 13 янв 2016, 14:12

Юляша писал(а):Как-то уж очень просто и нет уверенности, что учит думать.



Это для тебя просто. Для меня тоже. А вот для школьника...
Во-первых, ему необходимо вспомнить определение рационального числа. Во-вторых, сообразить представить каждый член множества в виде несократимой дроби. В-третьих, сообразить насчет наименьшего общего кратного... Короче, тут далеко не тривиальные (в рамках школьной программы) шаги.
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.
Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
 
Сообщения: 8499
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Откуда: С большой дороги.

Re: И снова задача из израильского учебника математики

Сообщение Dendr » 19 янв 2016, 21:52

1) Выстраиваем по возрастанию и вычитаем из каждого члена набора наименьший элемент - чисто для удобства и наглядности.
Если члены исходного входят в некую прогрессию, то и члены нового набора входят в какую-то другую прогрессию. (и наоборот)

2) Теперь мы имеем дело с набором рациональных чисел, то есть несократимых дробей 0<a/b<c/d<e/f<... где a, b, c, d, ... - целые числа. По определению рациональных чисел, существует такое N, что домножив все эти числа на него, получим целые

3) Новый набор выглядит так: 0<A<B<C<...

То есть задача свелась к следующей: надо доказать, что возрастающая (от нуля) последовательность натуральных чисел входит в некую арифметическую прогрессию. Очевидно, что таковая существует, по крайней мере, прогрессия с инкрементом 1.
Аватара пользователя
Dendr
Акула пера
Акула пера
 
Сообщения: 5717
Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
Откуда: Раменское, Мос.обл.

Re: И снова задача из израильского учебника математики

Сообщение Шшок » 20 янв 2016, 12:31

Ну да. Я решал чуть проще. Каждое число представляется в виде несократимой дроби (правильной или неправильной) m1/n1, m2/n2, m3/n3 и так далее. Затем ищется наименьшее общее кратное чисел n1, n2, n3.... Ясно, что в общем случае искомой прогрессией будет прогрессия, у которой первый член равен наименьшему числу в наборе, а разность равна 1/НОК (n1, n2, n3....).
Согласись, что для школы задачка не слишком тривиальна.
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.
Аватара пользователя
Шшок
Акула пера
Акула пера
 
Сообщения: 8499
Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
Откуда: С большой дороги.


Вернуться в Задачки

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yahoo [Bot] и гости: 1