Серии "орлов" и "решек" при бросании монеты
Добавлено: 05 июн 2014, 14:06
Раз начался разговор в теме про данетку, то предложу в качестве отдельной задачи.
Экспериментатор бросает монетку N раз подряд и записывает результаты в строчку. Он ожидает, что в его ряду окажется отрезок, содержащий только "орлы" или только "решки" (неважно что) длины n. Какова вероятность P(N, n) того, что этого не произойдет?
К данетке: какова вероятность того, что студент честно будет бросать монетку и записывать результаты, и в итоге не получит ожидаемых профессором 6 одинаковых подряд? (в обозначениях задачи - P(600, 6))
Замечание. Если выпала серия длиной k, то по определению принимается, что выпала и серия длиной (k-1).
Примечание 1. Очевидно, что P(N, 1)=2/(2^N): это отвечает случаям ОРОРОР... и РОРОРО...
Примечание 2. Вычислить P(N, 2) возможно в явном виде, но при больших n придется записывать в виде рекуррентной формулы.
Для самопроверки советую рассмотреть случай, когда 6 бросков всего, и определить вероятности выпадения серий из 1, 2 и т.д. орлов или решек.
Шесть - достаточно большое число, чтобы не получить правильные числа случайно, даже допустив ошибку, но достаточно малое, чтобы перебрать варианты вручную.
(кстати, без ограничения общности первое выпадение можно - и так удобнее! - обозначить за "ноль" и считать выборку из 2^(N-1) случаев, ища серии из нулей и единиц)
Длина самой длинной серии 1 - то есть только 010101 - 1 случай.
Длина серии 2 - 12 случаев (001001, 001010, 001011, 001100, 001101, 010010, 010011, 010100, 010110, 011001, 011010, 011011)
Длина серии 3 - 11 случаев (000100, 000101, 000110, 000111, 001000, 001110, 010001, 010111, 011000, 011100, 011101)
Длина серии 4 - 5 случаев (000010, 000011, 001111, 010000, 011110)
Длина серии 5 - 2 случая (000001, 011111)
Длина серии 6 - 1 случай (000000)
1+12+11+5+2+1=32=2^5 - найдены все комбинации
То есть точные значения вероятностей:
P(6, 1)=1/32
P(6, 2)=13/32
P(6, 3)=24/32=3/4
P(6, 4)=29/32
P(6, 5)=31/32
P(6, 6)=1
Экспериментатор бросает монетку N раз подряд и записывает результаты в строчку. Он ожидает, что в его ряду окажется отрезок, содержащий только "орлы" или только "решки" (неважно что) длины n. Какова вероятность P(N, n) того, что этого не произойдет?
К данетке: какова вероятность того, что студент честно будет бросать монетку и записывать результаты, и в итоге не получит ожидаемых профессором 6 одинаковых подряд? (в обозначениях задачи - P(600, 6))
Замечание. Если выпала серия длиной k, то по определению принимается, что выпала и серия длиной (k-1).
Примечание 1. Очевидно, что P(N, 1)=2/(2^N): это отвечает случаям ОРОРОР... и РОРОРО...
Примечание 2. Вычислить P(N, 2) возможно в явном виде, но при больших n придется записывать в виде рекуррентной формулы.
Для самопроверки советую рассмотреть случай, когда 6 бросков всего, и определить вероятности выпадения серий из 1, 2 и т.д. орлов или решек.
Шесть - достаточно большое число, чтобы не получить правильные числа случайно, даже допустив ошибку, но достаточно малое, чтобы перебрать варианты вручную.
(кстати, без ограничения общности первое выпадение можно - и так удобнее! - обозначить за "ноль" и считать выборку из 2^(N-1) случаев, ища серии из нулей и единиц)
Длина самой длинной серии 1 - то есть только 010101 - 1 случай.
Длина серии 2 - 12 случаев (001001, 001010, 001011, 001100, 001101, 010010, 010011, 010100, 010110, 011001, 011010, 011011)
Длина серии 3 - 11 случаев (000100, 000101, 000110, 000111, 001000, 001110, 010001, 010111, 011000, 011100, 011101)
Длина серии 4 - 5 случаев (000010, 000011, 001111, 010000, 011110)
Длина серии 5 - 2 случая (000001, 011111)
Длина серии 6 - 1 случай (000000)
1+12+11+5+2+1=32=2^5 - найдены все комбинации
То есть точные значения вероятностей:
P(6, 1)=1/32
P(6, 2)=13/32
P(6, 3)=24/32=3/4
P(6, 4)=29/32
P(6, 5)=31/32
P(6, 6)=1