Задача о пирамиде.

[Шшок]

Вот вопрос, ответ на который мне неизвестен. Племянник где-то вычитал и обратился ко мне. А я не знаю, как к этому подступиться.

Верно ли, что любую треугольную пирамиду можно так рассечь плоскостью, что в сечении получится квадрат?

[molch64]

Вроде нет.

1) Противоположные стороны квадрата параллельны
2) Альфа, бета, гамма - плоскости. Если альфа&гамма || альфа&бета (& - говорит о прямой пересечения плоскостей), то либо гамма || бета либо гамма&бета параллельна двум уже встречавшимся прямым пересечения.
3) Стороны сечения - "квадрата" параллельны двум непересекающимся сторонам тетраэдра (одна пара - одной стороне, вторая - другой)
4) Параллельность дает подобия треугольников на гранях и единственность отношения, в которых делит сечение четыре стороны тетраэдра.
5) Дополнительное условие, что сечение - ромб, а не просто параллелограмм даёт ТОЧНОЕ расположение этого ромба
6) Итого таких ромбов всего три штуки, каждый соответствует паре непересекающихся сторон тетраэдра.
7) Так что ромб - всегда пожалуйста, а вот с квадратом обломинго.