Азартная тройка (на вероятности задачка)

Логические задачи

Модераторы: Азарапетыч, Администрация

Азартная тройка (на вероятности задачка)

Сообщение Dendr » 21 ноя 2013, 21:43

Трус, Балбес и Бывалый, у каждого в кармане 100 долариев, играют в следующую игру.

На столе начерчено M полей, в которых написаны числа от 1 до N, каждое число ровно одном поле, в каждом поле разное количество чисел.
Игроки бросают кубик с N гранями, и в зависимости от выпавшего числа, ставят фишку в соответствующее ему поле. Тогда это поле называется выигрышным.

В каждом туре игрок должен выбрать одно из полей и поставить один доларий на то, что оно выиграет. Если оно действительно выигрывает, игрок получает из банка (банк считается бесконечным) число долариев, равное N, деленное на количество чисел в выигравшем поле.

У каждого игрока своя стратегия:
Бывалый все время ставит на одно и то же поле (которое выбрал сам заранее после долгого анализа).
Балбес каждый раз ставит на случайное поле (с вероятностью 1/M).
Трус всегда ставит на поле, победившее в предыдущем туре (в первом туре - на самое вероятное).
Игрок, которому нечего ставить, покидает игру.

Вопросы:
1) Кто, при "достаточно длительной" игре, выигрывает чаще?
2) Чья стратегия выгоднее (если игра убыточна для всех - кто дольше продержится в игре)?

Можно для простоты и определенности рассмотреть вариант M=3, N=6: тогда в игре используется обычный игральный кубик, а поля, к примеру, такие: (1,2,3), (4,5) и (6).

Вопрос "со звездочкой". Те же самые вопросы, но банкир берет некоторый процент с выигрышей.
Аватара пользователя
Dendr
Акула пера
Акула пера
 
Сообщения: 5717
Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
Откуда: Раменское, Мос.обл.

Re: Азартная тройка (на вероятности задачка)

Сообщение Юляша » 22 ноя 2013, 09:12

1. Что означает "выигрывает чаще"?

а) чаще получает выплату выигрыша или б) получает большую сумму в виде выигрышей?

2. Правильно ли я понимаю, что если игрок не выиграл (выпало число в другом поле), то поставленный им доларий уходит в банк?

3. Возвращается ли ставка в случае выигрыша или N/k - это полная сумма выигрыша, и поставленный доларий в нее включен.

---
Матожидание выигрыша при наиболее естественном ответе на 2-й и 3-й вопросы равно (-1)*(N-k)/N+(N/k-1)*k/N=-1+k/N+1-k/N=0. То есть, игра имеет нулевую сумму.

Согласно традиционным вероятностным законам, в этом случае рано или поздно проиграют все.

А вот есть ли разница в используемых стратегиях - это надо еще посмотреть.

--- добавление
Результат, похоже, зависит от того, как именно распределены числа по полям. А именно, есть ли поле в котором сосредоточено N/2 или больше чисел.
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.
Юляша
Популярный автор
Популярный автор
 
Сообщения: 3140
Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32

Re: Азартная тройка (на вероятности задачка)

Сообщение Dendr » 22 ноя 2013, 09:33

1. Первое.
(б) - это как раз второй вопрос.

2-3. И при выигрыше, и при проигрыше - ставка в любом случае уходит в банк. То есть при проваленной ставке игрок -1, при выигранной его доход равен ="выигрыш"-1.
Аватара пользователя
Dendr
Акула пера
Акула пера
 
Сообщения: 5717
Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
Откуда: Раменское, Мос.обл.

Re: Азартная тройка (на вероятности задачка)

Сообщение Юляша » 22 ноя 2013, 10:18

У меня получился странный результат, не могу пока с собой договориться, правильный он или нет.

Пусть M=2, N=1000000000000000000000000. В первом поле находится только число 1, во втором - все остальные числа. Игрок A имеет ровно 1 доларий и принципиально ставит его на число 1.

По моим расчетам получилось, что матожидание количества игр до полного разорения равно бесконечности.

Мне должно быть стыдно?
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.
Юляша
Популярный автор
Популярный автор
 
Сообщения: 3140
Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32


Вернуться в Задачки

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

cron