Мог ли быть такой турнир

Логические задачи

Модераторы: Азарапетыч, Администрация

Ответить
Петр Иванович Д.
Писатель на заборах
Писатель на заборах
Сообщения: 120
Зарегистрирован: 29 мар 2012, 18:05

Мог ли быть такой турнир

Сообщение Петр Иванович Д. »

Однажды был шахматный турнир где играли три гроссмейстера -Вася, Петя и Федя. Они сыграли несколько партий в шахматы - своеобразный матч- турнир-круговик. Каждые 2 игрока сыграли одинаковое количество партий друг с другом. Вася сказал-у меня больше выигрышей, чем у каждого из вас. Федя сказал-у меня меньше проигрышей, чем у каждого из вас. Но когда стали подсчитывать очки, то оказалось, что больше всех очков набрал Петя!!! Могло ли так быть, если в сумме в турнире было сыграно 42 партии?

Юляша
Популярный автор
Популярный автор
Сообщения: 3352
Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32
Пол: Женский

Re: Мог ли быть такой турнир

Сообщение Юляша »

Да, мог. Похоже, что 42 партии - это в данном случае минимум, хотя доказать это с ходу не возьмусь.
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.

Аватара пользователя
Dendr
Акула пера
Акула пера
Сообщения: 5717
Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
Пол: Мужской
Откуда: Раменское, Мос.обл.
Контактная информация:

Re: Мог ли быть такой турнир

Сообщение Dendr »

Если я правильно понял эту фразу:
Петр Иванович Д. писал(а):Каждые 2 игрока сыграли одинаковое количество партий друг с другом.
То из нее следует, что все игроки сыграли равное количество партий. Больше того, половину из них - с одним соперником, половину - с другим.

Тогда можно кое-что (сверх данного в условии) установить еще до применения глубокой логики.

1) Поскольку Петя - победитель, но у него больше поражений, чем у Феди. Допустим, что число побед у него меньше, чем у Феди, на X. Тогда число ничей должно быть больше на 2X+d, где d - положительное. Значит, побед и ничей у него больше - на X+d. Следовательно, поражений меньше на те же X+d. Противоречие. Следовательно, число побед у Пети больше, чем у Феди
Подытог: расстановка по числу побед В>П>Ф.

2) Пусть у Пети число поражений больше, чем у Васи.Тогда число результативных игр у него меньше в сумме. Но число побед у него по условию меньше, пусть на Y. А т.к. он обошел Васю по очкам, то количество ничьих больше на 2Y+f. То есть результативных игр - больше на Y+f. Еще одно противоречие. Следовательно, больше всего проигрышей - у Васи.
Подытог: расстановка по числу поражений В>П>Ф.

3) Поскольку у Феди число побед меньше, чем у остальных (см. п. 1), и число поражений тоже меньше (см. условие), то у него больше всего ничьих. У Васи, соответственно, меньше всего.
Подытог: расстановка по числу ничьих Ф>П>В

(проверка частично) Поскольку Петя - победитель, но у него меньше побед, чем у Васи, то у него больше ничей (иначе он не обошел бы). Все сошлось.

Сводная условная таблица: чем крупнее буква, тем больше ее значение. (В - выигрыш, Н - ничья, П - проигрыш)

П внп
В внп
Ф внп
Важно: одинаковый размер букв "В" и "Н" не означает, что их значения равны между собой.

Дальше надо определить, какие значения приобретают эти буквы.
Условия:
1) в+н+п все одинаковы по строчкам,
2) сумма всех "в" равна сумме всех "п"; причем если рассмотреть "в" (или "п") в любой строчке, она не может превышать сумму "п" (соответственно, "в") в остальных строчках,
3) сумма всех "н" - четна.

В числах пока думаю, но вроде пока запретов нет (разумеется, сразу видно, что число партий не может быть 3 или 6, но вот с 42 однозначно не скажешь)

Юляша
Популярный автор
Популярный автор
Сообщения: 3352
Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32
Пол: Женский

Re: Мог ли быть такой турнир

Сообщение Юляша »

У меня как-то в числах сразу (точнее, со второго раза - с первого не все детали учлись) получилось. А потом еще Excel автоматом нашел то же самое решение)).

Мне показалось, что лучше исходить из того, что у занявшего первое место побед больше, чем поражений, а у занявшего последнее - побед меньше, чем поражений. С учетом размеров букв ВНП))) выстраивается интересная цепочка.
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.

Аватара пользователя
Dendr
Акула пера
Акула пера
Сообщения: 5717
Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
Пол: Мужской
Откуда: Раменское, Мос.обл.
Контактная информация:

Re: Мог ли быть такой турнир

Сообщение Dendr »

Вот такой вариант выходит, к примеру (если не ограничиваться условием, что было именно 42 партии):
П 8-13-5 (26 игр, 29 очков)
В 9-9-8 (26 игр, 27 очков)
Ф 0-22-4 (26 игр, 22 очка)
Всего 17 неничейных результатов и 22 ничейных - 39 игр на турнире. Федя 13 раз сыграл вничью с Петей, а с Васей - 9 и четырежды проиграл. Петя же 8 раз выиграл у Васи и 5 раз ему же проиграл.

Если они сыграли еще кружок, где Петя выиграл у Васи, Вася - у Феди, а Федя - у Пети, то выходит как раз 42 игры, а взаимное расположение не меняется:
П 9-13-6 (28 игр, 31 очко)
В 10-9-9 (28 игр, 29 очков)
Ф 1-22-5 (28 игр, 24 очка)
И похоже, приуменьшить общее количество допустимых партий не получается. Увеличить - легче легкого, теми самыми "кружками" - либо все ничьи, либо "кольцевые" победы.

Юляша
Популярный автор
Популярный автор
Сообщения: 3352
Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32
Пол: Женский

Re: Мог ли быть такой турнир

Сообщение Юляша »

Оп-па)

У меня-то, стало быть, не 42, а 21 партия (по 14 у каждого...)
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.

Юляша
Популярный автор
Популярный автор
Сообщения: 3352
Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32
Пол: Женский

Re: Мог ли быть такой турнир

Сообщение Юляша »

Мое решение и ответ.

Попробуем сначала минимизировать число результативных партий.

Для этого сделаем предположение, что победитель турнира (Петя) имеет побед на одну больше, чем поражений, у занявшего второе место побед и поражений поровну, у занявшего последнее место - поражений больше чем побед, причем тоже на одно.

Здесь есть два варианта.

1. Последнее место занял Вася. Тогда у Феди может быть 0 побед и 0 поражений. У Пети - 1 поражение и 2 победы, у Васи - 4 поражения и 3 победы. Добавляем для равенства числа партий 7 ничьих Феде и 4 ничьих Пете. Далее, для устранения перекоса по результативным партиям добавляем по 2 победы и 2 поражения каждому. Еще добавляем по 1 ничьей каждому для правильной четности и по 2 ничьих каждому для устранения перекоса.

Получаем:

Петя: 4-7-3 (7,5 очков)
Федя: 2-10-2 (7 очков)
Вася: 5-3-6 (6,5 очков)

Итого:
Вася vs Федя: +2-2=3
Вася vs Петя: +3-4=0
Петя vs Федя: +0-0=7

Все сошлось (это второе решение получилось у меня прямо сейчас, до этого мне казалось, что здесь потребуется больше партий)

2. Последнее место занял Федя. Тогда у Феди может быть 0 побед и 1 поражение. У Пети - 2 поражения и 3 победы, у Васи - 4 поражения и 4 победы. Добавляем для равенства числа партий 7 ничьих Феде и 3 ничьих Пете. Далее, для устранения перекоса по результативным партиям добавляем по 1 победе и 1 поражению каждому. По четности проблем нет, но приходится добавить по 4 ничьих каждому для устранения перекоса.

Получаем:

Петя: 4-7-3 (7,5 очков)
Вася: 5-4-5 (7 очков)
Федя: 1-11-2 (6,5 очков)

Итого:
Вася vs Федя: +2-1=4
Вася vs Петя: +3-4=0
Петя vs Федя: +0-0=7

Все сошлось (это мое первое найденное решение).
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.

Ответить

Вернуться в «Задачки»