Вот еще одна милая задачка из школьных...
Доказать, что при a>0 и b>0 уравнение ax^5+bx+c=0 имеет единственный корень.
Я вроде как нашел доказательство, но оно мне кажется нестрогим...
Еще из школьного
Модераторы: Азарапетыч, Администрация
-
Шшок
- Акула пера
- Сообщения: 9094
- Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
- Пол: Мужской
- Откуда: С большой дороги.
Еще из школьного
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.
Re: Еще из школьного
Производная положительна, следовательно функция монотонно возрастает на всей оси, следовательно корней не более одного. Учитывая пределы на +бесконечности и -бесконечности, корень ровно один.
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.
-
Dendr
- Акула пера
- Сообщения: 5717
- Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
- Пол: Мужской
- Откуда: Раменское, Мос.обл.
- Контактная информация:
Re: Еще из школьного
Задача школьная, поэтому без функана должна решаться...
Рассмотрим функцию ax^5+bx. Она нечетная, как легко видеть, независимо от значений a и b.
Далее, в правой полуплоскости строго положительна и является произведением двух положительных и монотонно возрастающих функций: ax, и x^4+b/a. Следовательно, она тоже монотонно возрастает: если f(x2)>f(x1) и g(x2)>g(x1) при x2>x1, то и F(x2)>F(x1), где F(x)=f(x)g(x).
Легко понять, что из-за нечетности в левой полуплоскости она тоже монотонно возрастает.
Итого - заданная функция в самом деле монотонно возрастает на всей области действительных чисел. То есть пересекает любую константу ровно в одной точке. Это означает, что уравнение имеет ровно одно решение при любом с.
А вот без функций вообще?
Пусть p - решение, и q<>p - тоже решение. Тогда ap^5+bp+c=0, aq^5+bq+c=0.
Вычитаем: a(p^5-q^5)+b(p-q)=0
Делим на (p-q)<>0: a(p^4+p^3*q+p^2*q^2+p*q^3+q^4)+b=0
Или a(p^4+p^2*q^2+q^4)+b=-apq(p^2+q^2)
Пусть q=0. Тогда ap^4=0, а это возможно только если p=0=q, что противоречит предположениям. Тогда q<>0, и аналогично p<>0.
Теперь ясно, что pq=-[a(p^4+p^2*q^2+q^4)+b]/a(p^2+q^2)<0. Для определенности считаем, что q<0<p; q^5<0<p^5 ==> p^5-q^5>0, p-q>0, значит, a(p^5-q^5)+b(p-q)>0. Противоречие. Следовательно, мы не имели права делить на (p-q), другими словами, все возможные решения (в действительных числах!) равны - или проще, это одно решение.
Рассмотрим функцию ax^5+bx. Она нечетная, как легко видеть, независимо от значений a и b.
Далее, в правой полуплоскости строго положительна и является произведением двух положительных и монотонно возрастающих функций: ax, и x^4+b/a. Следовательно, она тоже монотонно возрастает: если f(x2)>f(x1) и g(x2)>g(x1) при x2>x1, то и F(x2)>F(x1), где F(x)=f(x)g(x).
Легко понять, что из-за нечетности в левой полуплоскости она тоже монотонно возрастает.
Итого - заданная функция в самом деле монотонно возрастает на всей области действительных чисел. То есть пересекает любую константу ровно в одной точке. Это означает, что уравнение имеет ровно одно решение при любом с.
А вот без функций вообще?
Пусть p - решение, и q<>p - тоже решение. Тогда ap^5+bp+c=0, aq^5+bq+c=0.
Вычитаем: a(p^5-q^5)+b(p-q)=0
Делим на (p-q)<>0: a(p^4+p^3*q+p^2*q^2+p*q^3+q^4)+b=0
Или a(p^4+p^2*q^2+q^4)+b=-apq(p^2+q^2)
Пусть q=0. Тогда ap^4=0, а это возможно только если p=0=q, что противоречит предположениям. Тогда q<>0, и аналогично p<>0.
Теперь ясно, что pq=-[a(p^4+p^2*q^2+q^4)+b]/a(p^2+q^2)<0. Для определенности считаем, что q<0<p; q^5<0<p^5 ==> p^5-q^5>0, p-q>0, значит, a(p^5-q^5)+b(p-q)>0. Противоречие. Следовательно, мы не имели права делить на (p-q), другими словами, все возможные решения (в действительных числах!) равны - или проще, это одно решение.