Как это доказать?

[Шшок]

Простейшая школьная задачка по стереометрии. А я никак не могу с ней справиться. Туплю и все. Помогите найти доказательство, а то стыдно перед ребенком. И не называйте меня тупицей, пожалуйста...

Дано: произвольный цилиндр, АВ - диаметр нижнего основания, ВС - образующая, К - произвольная точка на окружности нижнего основания.
Доказать, что угол СКА прямой, независимо от выбора точки К.

[Dendr]

Да вроде не проблема.

Строгое доказательство с теоремой Пифагора:
Угол BKA - прямой, как опирающийся на диаметр.
Тогда AB^2=AK^2+BK^2
По построению, AC^2=BC^2+AB^2,
Также, CK^2=BK^2+BC^2, или BC^2=CK^2-BK^2.
Подставляя первое и третье во второе, получаем AC^2=CK^2-BK^2+AK^2+BK^2=CK^2+AK^2
Следовательно, треугольник ACK - прямоугольный с гипотенузой AC.

"На пальцах" попробовал, но неубедительно вышло.

[Юляша]

Угол BKA - прямой, как опирающийся на диаметр.
BC перпендикулярно AK, так как образующая перпендикулярна всей плоскости основания.

Следовательно, CK перпендикулярно AK по теореме о трех перпендикулярах.

("На пальцах")

[Dendr]

Тьфу. Точно же - крутил-крутил, а образующую из К построить забыл. Тогда можно и теорем не вспоминать, ну, кроме того, что угол на диаметре равен 90 (или, на выбор, теоремы косинусов, из которой это можно вывести)

Наглядно это так:
Если обозначить "образ" точки К на верхнем основании М, то ВСМК - это прямоугольник (просто потому, что построен через две параллельные прямые), то есть элемент плоскости, а отрезок АК есть перпендикуляр к последней, так что любая прямая, проведенная через К в этой плоскости, перпендикулярна АК. В том числе, КС.

[Юляша]

Теорема о трех перпендикулярах - это "главная" теорема школьной стереометрии. Если не соображаешь как решать - ищи как ее применить .

[Шшок]

Точняк, други мои, спасибо. Тут действительно теорема о трех перпендикулярах в чистом виде. Даже не завуалирована ничем. Я вообще забыл про существование этой теоремы...