Задачка с олимпиады по математике

[Шшок]

Совершенно серьезная задача. Никаких подводных камней. Но, видимо, существует немало способов ее решения. И вся хохма в том, чтобы решить ее покороче и поизящней.
Формулировка - проще не придумаешь.

Выразить cos 5x через cos x и sin 5x через sin x.

[Dendr]

Раскрыть-то можно за минуту: 5x=x+4x, и дальше по двойному углу дважды. Но надо изящно, хоть и длинно. Хм.

Чтобы не смущать остальных, попрячу.

Вспоминаем, как раскрывается косинус и синус суммы и понимаем, что cos5x (как и sin5x) должен быть представим в виде суммы A1(cosx)^5+A2(cosx)^4*sinx+...+A6(sinx)^5. (далее буду писать с и s для краткости; ^ - значок возведения в степень)

Соответственно, из-за свойства четности-нечетности функции, ограничиваемся в каждом случае только тремя слагаемыми.
То есть, для cos5x имеем A1*c^5 + A3*c^3*s^2 + A5*с*s^4.
Так как s^2=1-с^2, то "как-то" раскрываются скобки, и коэффициенты перераспределяются, то есть cos5x=A*c^5 + B*c^3 + C*c.

Видно, что A+B+C=1. (при x=0).
А дальше надо при каких-то еще углах посмотреть...
Какие там "хорошие" есть? pi/3? cos(pi/3)=0.5, cos(5pi/3)=0.5.
1/2=A/32+B/8+C/2.
То есть 16=A+4B+16C.
pi/4? cos(pi/4)=1/V2 (квадратный корень так обозначил)
cos(5pi/4)=-1/V2;
-1=A/4+B/2+C, или -4=A+2B+4C

Ну и в итоге:
1=A+B+C
-4=A+2B+4C
16=A+4B+16C

Это уже можно решать, и ответ A=16, B=-20, C=5 совпадает с тем, что можно получить, просто пользуясь формулами.<=

[Юляша]

А по биному не проще получится? Причем обе задачи одновременно решаются)))

(Cos 5x + i Sin 5x) = (cos x +i sin x) ** 5

[Dendr]

Через формулу Эйлера-то?
Так это ж банально, стандартно. Там еще и скобки надо все пораскрыть и не ошибиться.
Проще уже справочник взять.

[Юляша]

Так просили попроще, а не понестандартней.

А так метод единый для любого нечетного множителя. Что касается скобок, то для 5х надо раскрыть ровно 3 (три) скобки для косинуса и столько же для синуса.

[Dendr]

Так просили попроще, а не понестандартней.

Тогда таблицы. Зачем ерундой заниматься, если справочник есть? А если припрет, можно вывести как удобнее, а не как проще.

[team55]

Выразить cos 5x через cos x и sin 5x через sin x.

А можно так?
cos 5x = cos 5(arccos(cos x))
sin 5x = sin 5(arcsin(sin x))

[Юляша]

Тогда таблицы. Зачем ерундой заниматься, если справочник есть? А если припрет, можно вывести как удобнее, а не как проще.

Таблицы - это готовый ответ, а не решение. Как удобнее - это хороший вариант. А как удобнее?