Выкинуть 10 орлов подряд (видео)

[Dendr]

Вероятность выпадения орла при броске монетки - 1/2. Двух орлов - 1/4... А десяти орлов? Примерно 0.1% То есть практически невероятно.

Однако одному человеку это удалось (английский звук, но картинка говорит сама за себя).


Сможете догадаться, в чем секрет?
Полное разъяснение (тоже на английском, однако) появится в списке, если переходить на ютуб, но попробуйте не торопить события.

[team55]

возможны варианты, например:
- он уже три часа кидает эту монету
- у монеты орлы с обеих сторон
- картинка в углу не соответствует по времени основной (снимается с перерывами, затем монтируется)

[Dendr]

возможны варианты, например:
- он уже три часа кидает эту монету
- у монеты орлы с обеих сторон
- картинка в углу не соответствует по времени основной (снимается с перерывами, затем монтируется)

Начну с конца.

Единственный видеомонтаж - совмещение "картинка в картинке", обрезание "хвостов" и, возможно, кадрирование. Конкретно этот отрезок снят без склеек и прерываний, и два видеоряда синхронизированы. Прямых доказательств, правда, нет, но правдоподобно. В общем, трюка здесь нет.

Монетка - самая обычная, тут без обмана.

Три часа... Догадка была бы хорошей, если бы он просто бросал и бросал беспрерывно (на рулетке ведь рано или поздно выпадает 10 красных подряд, а то и "зеро"). А тут он отсчитывает вслух: "раз орел, два орел, ..., десять орел" (в его случае: "one head, two heads, ... ten heads"). Не просто 10 орлов подряд, а именно что отсчет ведется от 1 до 10.
Вероятность такого события 1 из 1024 - это ж надо ну оооочень долго бросать, да и то - гарантии почти никакой. Однако ж - вот.

Где ж подвох?

[Юляша]

Ну отсчитывать-то не так сложно, что упало, то и отсчитываем, потом обрезаем. Если речь идет идет просто о десяти одинаковых результатах подряд, то вероятность еще вдвое выше. Говорят, что тренированные люди имеют повышенный шанс выкинуть то,что хотят,- это может сильно сократить число попыток.

[Semak]

А обязательно должен быть подвох?

Чтобы выкинуть подряд 10 раз "орла", события должны быть ПСЕВДО-случайными. Другими словами, парню нужно научиться одинаковым образом бросать монетку. С определенной высоты, придавать вращение с определенной силой. Класть монетку всегда одинаковым образом (к примеру "всегда вверх орлом"). Попробуйте сами покидать, но не в чашку, а на ладонь. Сделать "10 раз орел" не так сложно, как может показаться.

Кстати, насчет 3 часов - даже если предположить, что специальной предварительной тренировки тут нет, и все броски действительно "случайные" - сколько по времени нам придется ждать события с вероятностью в 1/1024? Допустим, на полный цикл (бросок - фиксация результата - подготовка к новому броску) тратим 10 секунд. Тогда нужное событие настанет в среднем 1 раз за 1024*10=10240 секунд. 10240 секунд = 170,7 минут = 2,8 часа. Так что ничего удивительного. Если цепочка "орлов" прерывается - просто начинаем считать с начала. И тупо ждем, когда же наступит нужное нам событие.

P.S. всем привет!

[Юляша]

Применим теорию вероятности честно. Матожидание числа бросков равно 2*(2**n-1), где n - нужное число удач подряд. То есть, для десяти орлов подряд монету в среднем надо бросить 2046 раз. Если монета чуть-чуть кривая, все сильно упрощается - для вероятности 0,51 число бросков примерно 1700, для 0,55 - меньше 900, для 0,6 - примерно 411. Это уже почти совсем не проблема, причем сам экспериментатор может ни о чем не догадываться.

[Dendr]

Сделать "10 раз орел" не так сложно, как может показаться.

Вот эта фраза ближе всех к истине. С возвращением, кстати

Итак. Монета - действительно нормальная. Броски - действительно случайные. То есть это не шутка, я повторюсь. Был бы фокус, я бы смайлик, что ли поставил.
И помогает в ее исполнении опять же теория вероятностей. Вот в этом-то и есть подвох.

А ответ следующий:
(сначала терминология: под "опытом" будем понимать десять подряд бросков в оглашением вслух номера броска и его результата; удачный опыт - 10 орлов, неудачный - любой другой результат)

Вероятность того, что в данном конкретном опыте мы потерпим неудачу равна 1023/1024.
А чему равна вероятность того, что неудача случится N раз подряд? (1023/1024)^N. Если N=710, то вероятность равна 49.97%.
Выходит что если мы рассмотрим два события:
А) за 710 опытов не произошло ни одного удачного,
Б) хотя бы один удачный произошел,
то событие (Б) более вероятно, чем событие (А). (50.03>49.97)
Значит, матожидание удачи равно 710.

Если уж по времени, и мы тратим по секунде на бросок, то спустя 7100 бросков (или даже меньше - если начинать отсчет сначала при выпавшей решке в ряду), или 7100 секунд, или 2 часа, "скорее всего" у нас будет удачный опыт.
(кавычки все из-за той же вероятности - в реальности ведь орлы могут не выпасть вообще никогда)

В общем, трюка нет. Есть куча времени и терпение.

[team55]

Надо же, навскидку почти угадал вероятное время эксперимента.

[Semak]

Надо же, навскидку почти угадал вероятное время эксперимента.

Ха! А я был уверен, что не навскидку.

[князь Владимир]

Вообще-то могло ведь выпасть и десять решек — но раньше выпало десять орлов. Но ведь, если б выпало сперва десять решек подряд, мы бы смотрели именно этот сюжет!
Так что результат (время) нужно делить на два.

[Dendr]

Вообще-то могло ведь выпасть и десять решек — но раньше выпало десять орлов. Но ведь, если б выпало сперва десять решек подряд, мы бы смотрели именно этот сюжет!
Так что результат (время) нужно делить на два.

Ну не совсем так... В полном варианте видео он показывает, как поставил маркером крест на одной из сторон - для того, чтобы лучше было видно. И он вслух объявлял именно орлов ("головы" в оригинале), так что добивался именно их.

[Юляша]

На самом деле, хорошо бы посчитать дисперсию для ожидаемого числа бросков, чтобы понять, сколько раз реально "грозит" потребоваться бросать монетку. Например, если надо выкинуть 1 "орел", то M=2, D=2, то есть в большинстве случаев монетку придется кинуть не более 3-4 раз.

Для двух "орлов" M=6, D=22, то есть надо рассчитывать на десяток бросков...
Для трех "орлов" M=14, D=142, то есть надо рассчитывать где-то на 25 бросков...
Для четырех "орлов" M=30, D=734 (57 бросков...)

Дисперсия подсчитана при помощи Excel, так что и наврано может быть...

[Dendr]

Забил в Маткад. (использовалась единичная вероятность "n-K" - это вероятность того, что при K бросках ряд из n "орлов" подряд выпадет только в самом конце, но не раньше)

Если все правильно экстраполировал, то вероятности в каждом случае - это "обобщенный" ряд Фиббоначчи (для n=2 это обычный 1-1-2-3-5-8-13-..., для n=3 1-1-2-4-7-13-... и т.д.), деленный на степень двойки.
При этом уже для 1000 последовательных бросков начинаются сбои в численных величинах: не может Маткад обрабатывать числа большие 2^1024, а сумма вероятностей Sum(P(n,K), K=n..1000 еще не достигла единицы. Поэтому уже для 7 выпадений начинаются приблизительные оценки: предполагал, что для K>1000 P(n,K)==P(n,1001) вплото до момента, когда сумма равна единице. Подгонка, конечно, но как там эмпирику ввести, думать не хочется.

Но до 6 все еще можно считать точно. И вроде бы тенденция прослеживается: число бросков с каждый шагом приблизительно удваивается, чего и следовало бы ожидать.

Для n=5: М=62, Д=3390 (120 бросков)
Для n=6: М~=125.6, Д~=14500 (246 бросков)
Для n=7: М~250, Д~5 10^4 (480 бросков)
Для n=8: М~470, Д~1.6 10^5 (870 бросков)
Для n=9: М~820, Д~3.5 10^5 (1400 бросков)
Для n=10: М~1400, Д~8 10^5 (2300 бросков)

Интересно выходит, кстати: нужно 710 опытов (теперь "опыт" - это выбрасывание и отсчет орлов вплоть до выпадения первой решки; про матожидание я там выше ляпнул, но это не то), чтобы шанс "все же выпадения" 10 орлов перевалил за 50%, и порядка 1400 бросков. То есть в среднем в каждой серии будет 2 броска. Как-то хорошо (?).
Проверяем это на точных примерах.

Для сравнения, при n=4. M=30, а количество серий - 11. Это в среднем три броска. Не очень, но близко. Опустимся вниз.
n=3: M=14, число серий - 6. Уже ближе к двум.
n=2: M=6, и три серии. Снова два, но тут относительные величины слишком велики.

Теперь вверх: n=5: M=62; 22 серии. Это три в среднем.
n=6: M=125, 45 серий (даже почти 44). Хм, а вот тут получается... e. Еще для верности (тем более, что пока числа честные):
n=7: M - около 250, и 89 серий. Очень близко к е (!).

А раз так, то это неспроста. Вот вам и эмпирика. Значит, матожидание числа бросков до выпадения n орлов подряд (на камеру мы будем подсчитывать только орлы, а потом вырежем нужный кусок видео) равно e*F(n), где F(n) - число "опытов". Его можно подсчитать напрямую, а можно через логарифм: это такое F, при котором (1-2^(-n))^F приблизительно равно, но меньше 1/2.

Ну и поскольку дисперсия не сильно отличается от M^2, то окончательная оценка числа затраченных бросков: 2e*F(n).
При n=10 это равно 3856. Поскольку это все оценки, то лучше говорить про 3.5-4 тысячи бросков. Если тратить на бросок 1-2 секунды, то затратим 1-2 часа на все.

Смотрим расширенное видео (там есть часы). В эксперименте, начавшемся в 7:40 вышло, что в 8:50, на 234-м опыте (т.е. спустя 1:10) получились 10 орлов. Явно меньше 2340 бросков было совершено, но это ни доказывает, ни опровергает мою эмпирику. Характерные величины получить не удастся.
Правда, потом, в следующие 770 опытов, до времени 13:20 (т.е. еще 4 с половиной часа) был полный неуспех. Но противоречия здесь нет. Вероятность же.

[Юляша]

M(n)=2*(2**n-1), это легко считается точно из рекуррентного уравнения M(k+1)=0,5* (M(k)+1)+0,5*(M(k)+1+M(k+1))

[Semak]

Если тратить на бросок 1-2 секунды

Ну, это вы загнули. Никак не меньше 5 секунд будет тратиться, если в таком же темпе и в аналогичную чашку кидать, как на видео.