Кто сможет решить вот такое?

[Петр Иванович Д.]

Однажды как то раз на очной встрече форумчан нашего сайта был проведен турнир по блицу в шашки. Участвовали ВСЕ БЕЗ ИСКЛЮЧЕНИЯ те, кто явился на встречу. Турнир был КРУГОВОЙ-каждый с каждым играл по 1 партии. Играли не по турам а кто с кем сядет. Из турнира двое участников вскоре выбыли- Алексей Ухтинский и Юляша, причем Алексей успел сыграть 10 партий, а Юляша только одну. Поэтому в турнире было сыграно всего 55 партий. Определить, играли ли выбывшие участники между собой и сколько всего форумчан явилось на встречу.

[Юляша]

12; играли

Полное решение тоже есть. Ключевые числа - 45, 55, 12, 10

[Петр Иванович Д.]

Правильный ответ.Число форумчан на встрече возьмем за n. Тогда число закончивших турнир будет n-2. И они провели между собой (n-2)(n-3)/2 встреч. А два выбывших провели в сумме 10 или 11 встреч в зависимости от того состоялась ли партия между ними. И таким образом у нас есть 2 уравнения
(n-2)(n-3)/2+10=55 и (n-2)(n-3)/2+11=55. Но только в первом случае n будет равно целому положительному числу- 12. А вывод -на встречу пришло 12 человек а Юляша и Алексей между собой играли.

[Dendr]

Альтернативное решение:
Нарисуем граф: вершины - участники, ребра - партии.
Из вершины "Юляша" идет одно ребро, из "Алексея" - 10. А всего ребер - 55. Уберем "Алексея" из графа - останется 45 ребер. Дальше два варианта: либо "Юляша" обособилась (это значит, что она играла с Алексеем), либо нет. В последнем случае она соединяется ребром с какой-то из оставшихся вершин. Убираем "Юляшу" из графа.
В итоге имеем граф, состоящий либо из 44, либо из 45 ребер. Из условия следует, что каждая вершина соединена с каждой. Иначе говоря, граф представим в виде многоугольника, в котором построены все диагонали. Это уже проще: единственный возможный вариант - 10 вершин и 45 ребер, а дальше - ответ. 12 участников и, да, играли.