Задачки на вероятности.

[Петр Иванович Д.]

1.ТРОЙНАЯ ДУЭЛЬ. Господа Умнов, Рассудилов и Глупов, решив внести в обычную дуэль на пистолетах некоторое разнообразие, условились провести поединок по измененным правилам. Вытащив жребий и узнав, кому из них выпало стрелять первым, кому вторым и кому третьим, они разошлись по своим местам, встав в вершинах равностороннего треугольника. Договорились, что каждый по очереди производит лишь один выстрел и может целиться в кого угодно. Дуэль продолжается до тех пор, пока не будут убиты любые два ее участника. Очередность стрельбы определяется только результатами жеребьевки и остается неизменной в течение всего поединка. Все три участника знают своих противников. Умнов никогда не промахивается, Рассудилов попадает в цель в 80% случаев, а Глупов, стреляющий хуже всех, промахивается так же часто, как и попадает в цель. Кто из дуэлянтов имеет наибольший шанс уцелеть, если все трое придерживаются оптимальных стратегий и никто из дуэлянтов не будет убит шальной пулей, предназначенной другому? Какова вероятность остаться в живых каждого из соперников?».

2.ВСТРЕЧА.Была у меня знакомая. И как то раз я назначил ей встречу у какого-то памятника между 11 часами и полуднем. Каждый придет в какой-то случайный момент в этот промежуток времени;согласно договоренности, если другой не появится в течении четверти часа, то пришедший первым больше не будет его ждать.
Ну-ка, кто умный, посчитайте- а чему будет равна вероятность того, что моя встреча со знакомой состоится?

3.СЕАНС НА 8 ДОСКАХ. Наш форумчанин Алексей Ухтинский играет 8 шашечных партий против членов шахматного клуба. Алексей играет в шашки не очень сильно, поэтому вероятность выигрыша им каждой партии равна 0.01.Найдите вероятность того что Алексей выиграет хотя бы одну партию.

4. ПОИМКА БАНДИТА. В одном маленьком городке милиция ловит бандита. В том городке 8 баров. Вероятность того что бандит находится в одном из баров-безразлично в каком, равна 4/5. Двое милиционеров обошли 7 баров, но бандита не нашли ни в одном.
Какая вероятность того что бандит непременно сидит в восьмом баре?

5. УМНИК НА ПОЛЕ ЧУДЕС. Умник решил сыграть в «Поле чудес». Якубович выносит ему три шкатулки. В одной — ключи от квартиры, где деньги лежат, в двух других — пусто. Умник показывает на одну из шкатулок, но прежде чем показать Умник ее содержимое, Якубович сначала открывает одну пустую из двух оставшихся (Якубович знает, где лежат ключи), а затем предлагает поменять свой выбор. Вопрос: если поменять выбор, вероятность нахождения ключа увеличится? Уменьшится? Останется прежней?

[Шшок]

Ответ на задачу 2:

Не уверен, но по-моему 0.75

Ответ на задачу 3:

1-0.99^8=0.077

Ответ на задачу 4:

Думаю, что 4/5

Ответ на задачу 5:

Похоже, что увеличивается до 0.5. Парадокс в том, что если не поменять выбор, то вероятность останется равной 1/3.

Задачу 1 пока не решил.

[Шшок]

А вот еще одна задачка из теории вероятностей.

Якубович выносит черный ящик и говорит игроку:
- В этом ящике лежат три карты. Одна из них с обеих сторон выглядит как туз пик, вторая с обеих сторон выглядит как туз треф, а третья с одной стороны выглядит как туз треф, а с другой - как туз пик. Достаньте из ящика одну карту и положите на стол.
Игрок достал карту и положил на стол. На видимой стороне карты оказался туз пик. И Якубович сказал:
- Обратите внимание, что вытащенная вами карта никак не может быть двойным тузом треф. Ясно, что это с равной вероятностью либо двойной туз пик, либо туз треф-туз пик. Вы с этим согласны?
- Разумеется, согласен, - сказал игрок.
- Тогда я предлагаю вам такое пари: если это двойной туз пик, то вы мне платите 1000 рублей. А если это туз пик-туз треф, то я вам заплачу целых 1500 рублей. Согласны?

А теперь скажите: выгодно ли игроку соглашаться на такое пари?

[Юляша]

Мои ответы:

1: вероятность выжить для самого слабого стрелка - больше 50%, благодаря тому что он является наименее привлекательной мишенью. У меня получились вероятности 3/10, 8/45 и 47/90

2: 7/16

3: у шшока правильно

4: 1/3

5: увеличится до 2/3

[Dendr]

1.ТРОЙНАЯ ДУЭЛЬ.

Вообще, как я помню, задача про тройную дуэль была на то, что благородные дуэлянты решили стрелять по порядку, от худшего стрелка к лучшему, и потом по кругу.

Но если жребий случаен, то тогда вероятности... Формулу искать или выводить лень, поэтому на пальцах.

Сначала рассмотрим вспомогательную задачу - перестрелка Рассудилова и Глупова.
1) первым стреляет Рассудилов (выстрелы помечаю звездочкой). пусть x - победа Рассудилова, y - Глупова (x+y=1) * 0.8 он победил, 0.2 стреляет Глупов. * 0.1 он победил, 0.1 стреляет Рассудилов. Снова круг. x=0.8+x*0.1, y=0.1+0.1*y; 0.9x=0.8, 0.9y=0.1; y=1/9, x=8/9.
2) первым стреляет Глупов (p - Глупов, q - Рассудилов) * 0.5 победа Глупова, 0,5 стрельба Рассудилова * 0.4 победа Рассудилова, 0.1 второй круг. p=0.5+0.1p, q=0.4+q*0.1; 0.9p=0.5, 0.9q=0.4; p=5/9, q=4/9.

Случай А (1/3). Первым выпало стрелять Умнову. Он, конечно, стреляет в Рассудилова (100%-е попадание, это его оптимальная стратегия). Дальше стреляет Глупов, с 50%-й вероятностью попадает. В противном случае - гибнет. Итого: 1/6 - 0 - 1/6.

Случай Б (1/3). Первым выпало Рассудилову. Он не будет стрелять в Глупова, потому что если (с 80% шансом!) попадет, то дальше стреляет Умнов независимо от исходного жребия, и его (Умнова) тактика развивается, как в сценарии А. Поэтому два исхода:
- 0.8/3 Рассудилов убивает Умнова. И дальше происходит перестрелка Рассудилова и Глупова, начинает Глупов. 0 - (0.8/3)*(4/9) - (0.8/3)*(5/9). = 0 - 3.2/27 - 4/27
- 0.2/3 Умнов жив. Подслучаи:
-- 0.1/3 Следующий жребий у Умнова. См. случай А: 0.1/3/2 - 0 - 0.1/3/2 = 1/60 - 0 - 1/60
-- 0.1/3 Следующий жребий у Глупова. Он, понятно, стреляет в Умнова (опять - стреляя в Рассудилова и случайно убив его, он сам гибнет).
--- 1/60 Умнов убит, перестрелка между Глуповым и Рассудиловым с первым Рассудиловым. А это 0 - 1/60 * 8/9 - 1/60 * 1/9 = 0 - 8/540 - 1/540
--- 1/60 Глупов промахнулся, стреляет Умнов - случай А. Он убивает Рассудилова и дальше снова выстрел Глупова... ну, тут все просто 1/120 - 0 - 1/120
Итого 0+1/60+0+1/120=1/40
32/270+0+8/540+0=2/15
4/27+1/60+1/540+1/120=7/40
(1/40+2/15+7/40=1/5+2/15=1/3 - ок)
То есть 1/40 - 2/15 - 7/40

Случай В (1/3). Начинает Глупов. Понятное дело, что палит он тоже в Умнова.
1/2 - Умнов убит, перестрелка с началом у Рассудилова (0 - 4/27 - 1/54)
1/2 - Умнов жив. Два равнозначных случая:
- *1/2=1/12 продолжает Умнов - см. А, 1/24 - 0 - 1/24
- *1/2 продолжает Рассудилов. Он, опять же, стреляет в Умнова.
(1/12)
-- *0.8=1/15 Умнов убит, перестрелка с началов у Глупова: (0 - 1/135- 8/135)
-- *0.2=1/60 Умнов жив, и это случай А 1/120 - 0 - 1/120
Итого:
0+1/24+0+1/120=1/20
4/27+0+1/135+0=7/45
1/54+1/24+8/135+1/120=69/540
(1/20+7/45+69/540= 180/540=1/3 ок)
1/20 - 7/45 - 69/540

Общий итог:
1/6+1/40+1/20=29/120=24.17%
0+2/15+7/45=13/45=28.89%
1/6+7/40+69/540=507/1080=46.94%
Вроде неплохо, да?

Но что, если Глупов нарочно промахнется (в случае, когда ему надо выбирать между двумя противниками)?
Надо переписать таблички...
Случай Б - 3-я опция убирается, зато 4-я удвоится
Итого 0+1/60+0+2*1/120=1/40 1/30=9/270
32/270+0+8/540+2*0=2/15 32/270
4/27+1/60+1/540+2*1/120=7/40 4/27+1/30=49/270
(9+32+49 /270 = 90/270=1/3 ок)
Случай В - просто уберем первую опцию, остальное возьмем и удвоим
0+1/24+0+1/120=1/20 х2=1/10
4/27+0+1/135+0=7/45 =1/135 х2=2/135
1/54+1/24+8/135+1/120=69/540 =1/20+8/135=59/540 х2=59/270
(1/10+2/135+59/270= 27+4+59 /270=1/3 ок)
Уже заметно, что шансы Глупова повысились!

Общий итог в этом случае:
1/6+1/30+1/10=3/10=30%
0+16/135+2/135=2/15=13.33%
1/6+49/270+59/270=1/6+2/5=17/30=56.67%

[Шшок]

Мои ответы:

4: 1/3

Почему????
Рассуждения такие:
Вероятность того, что бандит сидит в баре (неважно, в каком именно) равна 0.8. А вероятность того, что бандит не находится ни в одном из баров, равна 0.2. Полицейские заходят в первый бар - и не находят там бандита. Ну и что из этого? Вероятность того, что бандит сидит в одном из семи оставшихся баров по-прежнему равно 0.8. Полицейские заходят во второй бар - бандита нема. Наплевать, ведь он сидит в одном из шести оставшихся баров с той же вероятностью 80 процентов. И так далее. В семи барах бандита не оказалось? Да и хрен с ним! Ведь вероятность того, что его не будет и в восьмом баре равна, как и прежде, 20 процентов. Какая разница - заходили полицейские в первые семь баров, или не заходили? Значит, с вероятностью 80 процентов он будет задвигаться пивом в восьмом баре.
Если же разбирать эту задачу в числах, то получим вот что:
Полицейские заходят в первый бар. Вероятность того, что бандит будет именно в нем равна 4/5 * 1/8.
В первом баре бандита не оказалось. Полицейские заходят во второй. И вероятность найти в нем бандита равна уже 4/5 * 1/7.
При условии, что во втором баре бандита тоже нет, вероятность его нахождения в третьем баре увеличивается до 4/5 * 1/6.
И так далее. Если в первых семи барах бандит не найден, то вероятность найти его в последнем баре равна 4/5 * 1/1.
Более того, я сейчас приведу крайний случай этой задачки. Она абсолютно инвариантна относительно исходного значения веротность нахождения бандита в каком-либо из баров. Допустим, что по сведениям полиции бандит должен находиться в каком-то из баров с вероятностью... 100 процентов. Полицейские на обнаружили бандита в первых семи барах. Какова вероятность обнаружить его в восьмом? Ясно, что 100 процентов.

Прошу указать мне на ошибку в моих рассуждениях.

[Dendr]

Во второй долбал интегралы с плотностью вероятности, пока не сообразил о графическом решении (по оси абсцисс время появления знакомого, ординат - его подруги, ну и затушевать ту область, где они увидятся). Согласен с ответом Юляши.

[Dendr]

Про три якубовичских шкатулки уже обсуждалось здесь: выводим на крайний случай (пусть и абсурдный) - Якубович выносит девятьсот девяносто девять зиллионов шкатулок, в одной из них лежит олимпийский рубль, остальные пусты. Вася выбирает одну шкатулку, а Якубович говорит: "Я сегодня добрый, поэтому убираю все шкатулку кроме выбранной вами и еще одной. Уверяю вас, что в убранные шкатулки пусты" (открывает каждую и демонстрирует) "вы будете менять свое решение о выборе шкатулки?" Конечно, да. С тремя это не так очевидно, но математически доказывается.

А про двусторонних тузов я читал у Гарднера. Гадский Якубович в данном случае лукавит.

[team55]

Почему????

Это зависит от того, как понять условие.
Если так:
-вероятность того, что бандит сидит в каком-то конкретном баре = 0,1, всего баров - 8, - тогда прав Юляша
Если так:
- вероятность того, что бандит НЕ в баре - 0,2, а с вероятностью 0,8 он обязательно ГДЕ-ТО напивается - тогда прав ты.
А если так:
- то, что милиционэры не нашли бандита в баре, отнюдь не значит, что его там не было, то искомая вероятность - 0,1

[Шшок]

Если так:
- вероятность того, что бандит НЕ в баре - 0,2, а с вероятностью 0,8 он обязательно ГДЕ-ТО напивается - тогда прав ты.

Мне кажется, что из условия следует именно такая трактовка.

[Петр Иванович Д.]

Права Юляша. Бандит должен найтись. В каком-то конкретном баре.

[team55]

Бандит должен найтись.

... или не найтись.
Кстати, в условии не сказано, что вероятность посещения бандитом каждого из баров - одинаковая. Так что правильный ответ -любое число от 0 до 0,8.

[Юляша]

А если так:
- то, что милиционэры не нашли бандита в баре, отнюдь не значит, что его там не было, то искомая вероятность - 0,1

Мне этот вариант ответа больше всего нравится.)