Тиранозавр на берегу

[ChaoCheese]

Вы находитесь в центре круглого озера на лодке, а на берегу - голодный тиранозавр, который, к счястью, не умеет плавать, но зато бегает в 4 раза быстрее, чем вы плывёте на лодке.
Вам нужно добраться до берега и не попасться (что вы будете делать дальше - не уточняется). При этом тиранозавр бежит в ту точку на окружности, которая лежит на луче из центра озера до лодки.
Сможете ли вы добраться до берега и не попасть в желудок тиранозавра?

[aynat6]

Если брать самый простейший математический расчёт, то получится, что если наша скорость равна v и мы находимся в самом центре окружности, то нам потребуется времени, чтоб добраться до берега r/v, в то время, как тиранозавру, даже если он находится на противоположном конце озера от финиша, времени понадобится πr/4v, так что по прямой по любому не успеваем , даже если нас будет ждать вертолёт, готовый тут же взлететь. Если только как-то петлять попробовать и гонять его взад-вперёд, ну, или если вертолёт сможет как-то приводниться).

[ChaoCheese]

Плыввём мы не по прямой, естесно. Могу дать подсказочку (это потом).

[Юляша]

Пусть радиус озера 1 км.

Начинаем грести так, чтобы тиранозавр все время был от нас на одной прямой с центром озера и на противоположной стороне. На первый взгляд, мы должны суметь достичь точки в 250 м от центра. Далее поворачиваем к ближайшей точке на берегу.
Нам нужно проплыть 750 м, тиранозавр пробежит 3 км. А надо ему пробежать "пи" км.

Вроде успели и даже с запасом).

[ChaoCheese]

Молодец! Только опиши, как достичь этой точки, что в 250 м от центра и чтоб тиранозавр был на противоположной стороне.

[Юляша]

Молодец! Только опиши, как достичь этой точки, что в 250 м от центра и чтоб тираннозавр был на противоположной стороне.

Да как угодно. Например, приплываем на центр озера, отплываем от него на 220 метров в любую сторону и гребем по кругу, пока тираннозавр не окажется относительно нас там, где нужно. Далее прямо к берегу (780*4=3,12 км < 3,14 км, то есть расстояния нам хватает).


А вообще интересно. Пусть отношение скорости тираннозавра к скорости лодки равно "пи"+1. Тогда предложенный метод не сработает. Есть ли и в этом случае шансы у гребца? Если да, то 1) как ему надо действовать?; 2) при какой максимальной скорости тираннозавра гребец еще может спастись?

[ChaoCheese]

Да как угодно. Например, приплываем на центр озера, отплываем от него на 220 метров в любую сторону и гребем по кругу, пока тираннозавр не окажется относительно нас там, где нужно. Далее прямо к берегу (780*4=3,12 км < 3,14 км, то есть расстояния нам хватает).

Ок.

[Юляша]

Я практически убеждена, что гребец может спастись при соотношении скоростей 4,5-4,6, причем это еще не максимум. Но если искать настоящий максимум, то начинается математика, вероятно, выходящая за пределы моих возможностей. Задачка очень легко формулируется в полярных координатах, а вот решить ее уже сложнее.

---Добавление---

Да, при соотношении скоростей 4,6 я берусь оставить между гребцом и животным метров 100...

[Юляша]

Имеется 99% уверенность, что найденное мною решение - оптимальное.

"Исправленная" задача.

Вы находитесь в центре круглого озера на лодке, а на берегу - голодный тираннозавр, который, к счастью, не умеет плавать, но зато бегает в 4,6 раза быстрее, чем вы плывёте на лодке.
На самом берегу озера лежит ваш рюкзак с заряженным тираннозавробойным ружьем. Вам нужно добраться до берега и не попасться - вы сможете мгновенно схватить ружье и застрелить животное. При этом тираннозавр бежит в ту точку на окружности, которая лежит на луче из центра озера до лодки, а вы не способны хоть сколько-то быстро перемещаться по болотистому берегу.
Как вам спастись?

[team55]

Как вам спастись?

Поскольку к этой задаче недавно вернулись, а ответа на усложнённую версию нет, хочу предложить алгоритм спасения.
Пусть тираннобойный штуцер лежит на берегу внизу "на юге" на рисунке ниже.

1) отплываем от центра чуть на север, ждём, когда зверюга прибежит вверх.
2) возвращаемся обратно в центр по прямой, зубастик при этом сидит и ждёт, что будет дальше.
3) плывём точно на юг, следя за зубастиком. Если он начинает бежать на юг через восток, отклоняемся на запад (и наоборот), чтоб он развернулся и вернулся наверх. В общем, грамотно виляя по курсу, удерживаем голодающего на севере.
4) в какой-то момент замечаем, что, чтобы удержать зубастика, двигаться приходится по дуге окружности с центром в середине озера, если будем смещаться на юг, то жывотное нас обгоняет (его угловая скорость теперь больше)
5) с этого момента плывём прямо к штуцеру, хватаем его и устраиваем реликтовому ящеру геноцид.

[Юляша]

Я, во-первых, точно не помню свое решение, которое имело место больше десяти лет назад, хотя кое-что в голову и пытаюсь вернуть...

Во-вторых, движение по прямой к нужной точке вдоль радиуса срабатывает, только если отношение скоростей меньше pi+1 (при равенстве персонажи прибывают в нужную точку одновременно). При соотношении 4,6 этот алгоритм не срабатывает.

[team55]

движение по прямой к нужной точке вдоль радиуса срабатывает, только если отношение скоростей меньше pi+1 ... При соотношении 4,6 этот алгоритм не срабатывает

Значит надо отклоняться от прямой в сторону от голодной пасти, чтобы удлинить ей путь. Целесообразно это делать, пока сохраняется условие, что с учётом отклонения приближение к берегу происходит быстрее, чем приближение динозавра к точке встречи. Для расчёта можно чуть изменить условие: пусть штуцер лежит в лодке, но если стрелять из лодки, то опрокинешь её, вывалишься и промочишь любимые домашние тапочки, т.е. цель - просто доплыть до берега раньше зверя.

[Юляша]

--- скрыто

Мой план заключался в том, чтобы, отплыв на некоторое расстояние от центра озера и дождавшись выбора направления зверем, направиться к берегу по прямой, перпендикулярной к направлению на центр.
Так как tgx>x, зверь не сменит направления и побежит по длинной дуге.
Вроде бы, при этом успех достигается даже при соотношении скоростей ~4,65. Там в расчетах вылезает неприятная функция, которую не получается проанализировать точно.

[team55]

Тогда вот что получается:
Пусть скорость кусатика в Х раз больше скорости лодки.
Пусть мы плаваем по озеру радиусом X условных единиц. Тогда, плавая вокруг центра в круге радиусом 1, мы можем загнать зверушку на север и приплыть на юг этого маленького круга.
Дальше начинается гонка-двоеборье, мы плывём влево, а голодающая зверушка скачет вправо.

Мы должны затратить на двоеборье меньшее время, поэтому результат в формуле справа на рисунке должен быть меньше нуля.
Помог железный мозг, нарисовав график. Если в лодке самый быстрый стрелок к западу от фронтира, то можно особо не напрягаться грести, двигаясь аж в 4,6033 раза медленнее тираннозавра.



Навскидку кажется что можно ещё чуть улучшить, если в какой-то момент отклониться с курса на запад севернее.