Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?

[Юляша]

Для тех, кто считает ответ "пусто" верным, предлагается следующий вариант задачи.

Вместо того, чтобы убирать шарик с наименьшим номером, мы стираем с него число, добавляем девять новых шариков и нумеруем все десять свободных шариков новыми числами. Процедура по результату каждого шага ничем не отличается от описанной в задаче, но ни один шарик никогда из ящика не вынимается. Если ответ "пусто" верный, то вот два вопроса: 1) куда денутся шарики из ящика; 2) что будет на них написано в полдень?

[AndrNiko]

Задача шуточная, как и было сказано с самого начала. Реального математического смысла она не имеет, не говоря уже о физическом. В математике нет понятия бесконечного процесса и его результата! Есть бесконечные множества, есть операции с ними, в частности, отображение одного множества в другое. Есть понятие предела, строго определённое через эпсилон и дельту.

Если перевести задачу на математический язык, то мы имеем отображение множества натуральных чисел N (номер стадии процесса) в множество подмножеств N (список номеров шаров, находящихся в коробке на очередной стадии). Т.е. имеем бесконечную последовательность, членами которой являются не числа, а множества. Понятие предела определено только в метрических пространствах (или нормированных, терминологию могу перепутать, давно учил): чтобы говорить о пределе последовательности, нужно придумать какое-то определение расстояния между членами последовательности. Можно рассматривать конечные подмножества N как элементы Гильбертова пространства, но там наша последовательность, очевидно, сходиться не будет. Не вижу никакого способа сделать из множества всех подмножеств N (или хотя бы конечных подмножеств) такое метрическое пространство, чобы наша последовательность там сходилась.

Вывод: говорить о содержимом коробки в полдень математически бессодержательно. Не всякий набор слов задаёт некоторое множество! В матетатике множество N считается существующим, а все остальные множества строятся из него с помощью строго определённых операций. Процедура, описанная в условии задачи, не сводится к таким операциям, поэтому нельзя рассматривать множество, являющееся "результатом" этой процедуры.

[Antananarivu]

Не хочу спорить. Тем более я не специалист в теории множеств.
Насколько я знаю, с точки зрения современной математики правильный ответ 0.
http://www.suitcaseofdreams.net/Paradox_Infinity.htm
Все это сводится к ряду, указанному там. Никто не будет спорить, что при указанной группировке слагаемых ряд сойдется к нулю?
Все остальное предлагаю списать на неудачную постановку задачи. Тем более что Литллвуд предложил ее тогда, когда современного мат анализа со всей строгостью формулировок еще не было. Кроме того, насколько я знаю, она и формулируется таким вот несколько провокационным методом, чтобы заставить думать. Вроде Литтлвуд ставил подобные парадоксальные задачи перед своими студентами, заставляя их мыслить более масштабно.

[Юляша]

Все это сводится к ряду, указанному там. Никто не будет спорить, что при указанной группировке слагаемых ряд сойдется к нулю?

А это не ряд. Это последовательность множеств. И определение сходимости для такой последовательности неизвестно, по крайней мере мне. В частности, аналог (который я могу себе представить) определения предела для числовой последовательности не выполняется. Аналог теоремы Коши просто невозможно построить. А если нет определения сходимости, то нет и предела. Увы.

Надо, сначала доказать, что последовательность вообще сойдется, а потом уже говорить о пределе.

В задаче вполне корректно доказывается, что не существует чисел x и k, таких, что x принадлежит An при всех n>k. Но этого мало. То есть, если предел существует - то он может быть только пустым множеством. Но что позволяет нам считать его существующим?

Полный аналог: просуммируем ряд 1+10+100+1000+... Если сумма существует, то ее можно подсчитать по формуле геометрической прогресии. Получим -9. Ответ годится?

[Antananarivu]

Я тут пас. У меня недостаточно знаний в этой области.
Я принял ответ "0" от своих знакомых математиков и от тех источников в интернете, которым я доверяю.
P.S. рекомендую PAV с dxdy.ru если интересно разобраться. http://dxdy.ru/topic13718.html там с 5 страницы и о топологии и о предельном переходе

[AndrNiko]

Математически вопрос сводится к следующему:

Существует ли достаточно естественное определение предела последовательности множеств, согласно которому рассматриваемая последовательность сходится к пустому множеству?

Я прочитал несколько страниц упомянутого выше форума и нашёл там ответ: да, существует. Приводятся 2 разных определения. Может, есть и ещё, но лень читать 50 страниц в двух ветках. Цитировать не буду, там много математических символов, но дам прямые ссылки.

Определение 1 - чисто теоретико-множественное. Утверждается, что оно общеизвестное. Я его не помню, но я не профессиональный математик, а программист с высшим математическим образованием. Определение выглядит достаточно естественным.

Определение 2 - введена подходящая метрика на множестве подмножеств N. Выглядит красиво (для тех, кому не лень вникнуть в математический смысл).

Эквивалентны ли эти определения применительно к подмножествам N? Интересный вопрос. Я подумаю над ним, когда будет время и настроение... Может, в отпуске... Но интуитивно кажется, что эквивалентны.

Вывод: существует достаточно естественный математический аппарат, согласно которому предел рассматриваемой последовательности множеств существует и равен пустому множеству.

Я намеренно даю чисто математические формулировки. Потому что в исходной постановке - с шарами и коробкой - задача не может иметь решения, т.к. её условия принципиально невыполнимы в реальном мире. Интуитивно-правдоподобные рассуждения с перенумерацией шаров тут не работают, и получаемые противоречия доказывают только то, что мы знаем с самого начала - в реальном мире ситуация невозможна. Если же решать задачу не о шарах и коробке, а о числах и множествах (только это и имеет смысл), то можно пользоваться только строгим математическим аппаратом для работы с бесконечными множествами и ничем иным.

Задача демонстрирует парадокс: предел числа элементов равен бесконечности, а число элементов предела равно нулю. В реальном мире так не бывает, а в математике - сплошь и рядом.

Спрашивается: если законы математики столь явно отличаются от законов реального мира, то как можно опираться на выводы математики в реальном мире? Видимо, ответ такой: доказать это невозможно, и только практика подтверждает, что математика действительно работает, если применять её достаточно аккуратно. Тут же напрашивается новый вопрос: как отличить аккуратное применение от неаккуратного? А уметь надо...

По этому поводу вспомнился недавно прочитанный анекдот.

Девушка: - Ты любишь свою математику больше, чем меня!
Парень: - Нет, тебя я люблю больше!
Девушка: - А докажи!
Парень: - Хм... Ну, пусть А - множество моих любимых объектов...

[team55]

Ну что вы так к ответу 0 привязались? Мне вот ответ 42 нравится, я считаю, что если можно доказать, что ответ - 0, то и ответ 42 ничем не хуже

Где в исходной задаче написано, что шары пронумерованы? Или может там сказано, что обязательно надо начинать с шарика под номером 1, потом №2 и т.д.? И что, когда до полудня одна наносекунда, надо в ящике в миллиардах шариков обязательно раскопать номер 999999999 (смотри, не перепутай [-X )и вытащить именно его? (кстати, Dendr, ты про физику и планковское время говорил; ну а можно из "достаточно большого ящика" убрать за наносекунду бильярдный шар и насыпать десяток других, если свет за это время проходит всего 30см?)

Если надо, чтобы ответ был 0, просто доопределите задачу (например так: "...ровно в полдень все оставшиеся в ящике шары съедает макаронный монстр. Сколько шаров будет в ящике в полдень?)

Кстати, если решите всё-таки однозначно исходную задачу, напишите мне, пожалуйста, чему равен котангенс нуля

[Судовой_Врач]

Пересказ предыдущих событий:
Посадил Дендр репку. И тут же выкопал две.
И выросла репка большая-пребольшая.
Вопщем, позвали много народу и тянут-потянут, тянут-потянут...

[Antananarivu]

"Существует ли достаточно естественное определение предела последовательности множеств, согласно которому рассматриваемая последовательность сходится к пустому множеству?"

Да вот это тут главный вопрос. И ответ действительно положительный, что я и пытался доказать, но сказалось мое невладение предметом.

А по поводу формулировки Литлвуда, ну он же намеренно формулировал парадокс. Как Зенон с черепахой и Ахиллесом. Не будьте слишком строги.

[Юляша]

Прочитав все определения, я пришла вот к какому забавному выводу.

Вспомогательная задача. На дне ящика лежит табличка, на которой написано число 1. В соответствии с правилами исходной задачи на каждом этапе число n стирают с таблички и записывают число n+1. Что будет написано на табличке в полдень?

Решение. Рассмотрим последовательность множеств, состоящую из чисел записанных на табличке: {1};{2};{3};... В соответствии с определениями, приведенными выше по ветке и использованными для обоснования ответа исходной задачи, предельное множество будет пустым. Следовательно, в полдень на табличке ничего не написано.

Возвращаясь к исходной задаче и обобщая этот ответ, получаем: в полдень в ящике бесконечно много шаров, ни на одном из которых нет никаких надписей.

Это лучше))), чем исходный фокус с исчезновением или еще более замечательный фокус с исчезновением из http://dxdy.ru/post134867.html#p134867

[ChaoCheese]

Кстати, если решите всё-таки однозначно исходную задачу, напишите мне, пожалуйста, чему равен котангенс нуля

Бесконечность, конечно...

[ChaoCheese]

Мои суждения:
Шары у нас перенумерованы от 1 до бесконечности.
Имеется луч, на котором через равные промежутки расположены точки. Точки пронумерованы по порядку.
Каждая точка может находиться в одном из двух состояний: вкл (если шар с её номером находится в ящике) и выкл (если шара в ящике нет).
Вынимать шары будем строго по порядку: сначала 1, потом 2, потом 3 итд.
Заметим, что тогда в каждый момент времени числа из множества номеров точек с состоянием вкл будут идти подряд, так что можно провести отрезок на луче, содержащий все точки с состоянием вкл и ни одной - с состоянием выкл.
Таким образом, за один шаг отрезок удлиняется на 9 и сдвигается на 1 шаг вправо.
В полдень отрезок (ставший бесконечным) будет от нас на бесконечном расстоянии. И нам известно, что в полдень ящик пуст.
ВЫВОД: если объект находится от нас на бесконечном расстоянии, то его как бы нет независимо от его размеров...

[Alandroid]

Задача эта напомнила мне задачу о сумме всех целых чисел. С одной стороны, на каждую n найдётся -n, следовательно сумма будет 0.
Но ведь на каждую n найдётся -n+1, и сумма - +бесконечность. Аналогично для каждого n - -n-1. И сумма - -бесконечность. =D

[team55]

Вынимать шары будем строго по порядку:

Почему?

... чему равен котангенс нуля

Бесконечность, конечно...

Почему?

[ChaoCheese]

1) Допустим, так...
2) ctg0=cos0/sin0=1/0