Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?

[Dendr]

Активность в этом разделе катастрофически упала, поэтому предлагается вот такая несложная (хотя... это как посмотреть) задачка.

Стоит пустой ящик.
За одну минуту до полудня в него кладут десять шаров (пусть бильярдных, если хотите конкретики). За 30 секунд до полудня один шарик вынимается, но при этом вкладывается еще десять. За 20 секунд до полудня процедура повторяется: один шар вынимается, кладется десять. Потом за 15 секунд, за 12, за 10 и т.д. (т.е. каждый шаг с номером n совершается в момент за 1/n долю минуты до полудня)

Вопрос - сколько шаров будет лежать в ящике в полдень?
(как в любой математической задаче, полагаем, что у нас достаточно шаров для наших опытов, что ящик достаточно велик и что мы достатосно быстры, чтобы все это провернуть)

[team55]

Хм... Полный ящик?

[Dendr]

Хм... Полный ящик?

Не-а. Задачка, конечно, с юмором. Но он - юмор - в другом.

[team55]

как в любой математической задаче

ну, если задача математическая, то шаров будет бесконечно много: за каждый шаг добавляется 9 шаров; шагов бесконечно много.

Задачка, конечно, с юмором

тогда возможет любой ответ - от 0 до бесконечности

[Dendr]

Вот тут-то собака и порылась...

то шаров будет бесконечно много:

Не факт, далеко нет.

за каждый шаг добавляется 9 шаров;

Неверно. Если бы добавлялось каждый раз по 9 шаров, то в условии так и было бы сказано. Но там сказано иначе: достается один из шаров, которые уже были в ящике, и добавляется 10 новых.

шагов бесконечно много.

А вот это истинная правда.

[Шшок]

Интересные шляпки...

Допустим, перед n-м шагом в ящике было Х шаров.
Тогда после n-го шага в ящике будет Х-1+10 шаров.
Но Дендр говорил, что в рамках этой задачи Х-1+10 вовсе не то же самое, что Х+9.
И как это прикажете понимать?

Дендр, правильно ли я понял, что процедура изъятия одного шара и добавления 10-и новых происходит за нулевое время?

[Dendr]

Но Дендр говорил, что в рамках этой задачи Х-1+10 вовсе не то же самое, что Х+9.
И как это прикажете понимать?

Парадоксально, но факт - ответ в этих двух случаях разный. Если каждый раз добавлять по 9 шаров - то, разумеется, в итоге их будет бесконечное число, причем не простое, а такое, что в остатке дает единицу. Но если делать так, как в условии, то ответ будет иной.

Дендр, правильно ли я понял, что процедура изъятия одного шара и добавления 10-и новых происходит за нулевое время?

Точно так, мгновенно. Математика все ж. Ну, или можно считать, что длительность процедуры N-го шага длится меньше, чем временной промежуток до (N+1)-го шага. (то есть, менее 1/N(N+1) минуты).
Проще говоря, все шаги разделены во времени, тут никаких хитростей нет. Но совершаются они, понятное дело, все чаще и чаще.

Подсказка 1. Парадокс задачи исходит из того, что мозгу человека не так-то просто перестроиться на оперирование бесконечными (как бесконечно большими, так и бесконечно малыми) величинами. Но бесконечность можно приручить. Вопрос - "как?".

[team55]

их будет бесконечное число, причем не простое, а такое, что в остатке дает единицу.

в каком остатке?
шаров будет 10, потом 19, потом 28, потом 37.... потом дофига....потом дофигища....потом ещё больше....
если ты имел ввиду, что надо с умным видом рассмотреть какой-то предел или ряд (дескать, кладём бесконечно много, но вынимаем тоже бесконечно много), то ряд разойдётся, а предел будет равен бесконечности.

[Dendr]

в каком остатке?

Остаток при делении на 9.

[team55]

кстати, строго говоря, математика не даёт ответ на вопрос

сколько шаров будет лежать в ящике в полдень?

хотя ответ на вопросы "сколько шаров будет лежать в ящике в любой заданный момент до полудня?" или "к какому значению будет стремиться количество шаров в ящик при приближении времени к полудню?" математике вполне по силам.

[Antananarivu]

Решим задачу так.
Пронумеруем шары. Тогда за 30 секунд до полудня мы вынем из ящика шар под номером 1, за 20 секунд до полудня - шар под номером 2. В итоге, к полудню какой бы номер шара мы не взяли - его в ящике уже нет.
Ответ: ровно в полдень в ящике не будет ни одного шара.
P.S. Однако!

[Dendr]

Ответ: ровно в полдень в ящике не будет ни одного шара.
P.S. Однако!

Верно. В первоисточнике исходно давалось условие, что шары нумерованные, но формально задачи это не меняло.
Парадокс, но действительно получается, что увеличивая каждой итерацией количество шаров в ящике на 9, мы в итоге придем к тому, что шаров в ящике не останется. В самом деле, мы добавляем бесконечное (и счетное!) количество шаров, но и убираем ведь тоже бесконечное. (inf)-(inf) - выходит неопределенность, которую и не "полопиталишь"...

А вообще задача эта напомнила мне один замечательный "ряд" (кавычки потому, что он, как видно, не сходится... тут даже слово "расходится" язык не поворачивается употребить): 1-1+1-1+1-1+...
Его можно просуммировать так, что он может быть равен любому наперед заданному числу (не обязательно целому). Но в нашем случае есть фактор времени, так что отличие есть, и довольно серьезное.

Разумеется, физически подходить к этой задаче, в ее полном условии, невозможно - ведь рано или поздно вы придем к фундаментальной единице времени, или "планковскому времени" - величине с размерностью времени, выраженной через постоянную Планка, гравитационную постоянную и скорость света в вакууме - приближенно она равна 5,4*10^(-44) с. Ограничиваясь двумя словами, это можно назвать "квантом" времени.
Этот момент (за один "квант" времени до полудня) нельзя в принципе отличить от полудня ни одним прибором, влючая какие-нибудь фантастические квантово-релятивистско-гравитационные измерители времени.
Но с другой стороны, тут же есть и лазейка для физического регшения. Ведь, поскольку измерить этот отрезок мы не может, то в оставшееся время и никакикх наблюдаемых процессов происходить не будет. Этот момент, как видно, на 1,11*10^45 шаге, так что, с точки зрения физики, шаров в ящике к этому моменту будет ~10^46 штук, а значит, раз после этого ничего не происходит, то и в полдень будет столько же.

[Antananarivu]

Если вынимать шары в другом порядке (например, в первый момент вынуть шар под номером 2, затем под номером 4, затем под номером 6 и т д.) то в полдень останется бесконечное число шаров. Также ответом может быть любое натуральное число шаров. Скажем, если в первый момент удалить шар под номером 2, затем шар под номером 3 и т д., то ответом будет один шар.
Ох уж эти бесконечные множества.
P.S. А если шары не пронумеровать, я так понимаю, результат вообще неопределен.

[Юляша]

Правильный ответ: не следует баловаться с бесконечностью, не понимая что происходит в конкретном случае.

При формальном математическом подходе число шаров в ящике - монотонно возрастающая функция количества итераций и поэтому говорить о том что шаров в ящике не останется - нельзя. Ряд является расходящимся, но можно говорить о том, что число шаров стремится к бесконечности. Задуманный парадокс опирается на возможность физически проделать бесконечное число итераций, что естественно невозможно.

Математически, предложенная процедура действительно эквивалентна перестановке членов в ряду. Известно, что если ряд не является абсолютно сходящимся, то поступать так нельзя. Для условно сходящегося ряда можно добиться _любого_ значения суммы ряда. Расходящийся ряд останется расходящимся, как ни переставляй его члены, так что значение суммы ряда в математическом смысле не определено.

Добавление - примеры.

Задача Б. Итерации организованы так же, как в исходной задаче. В первый момент в ящик кладут батон хлеба, во второй - полбатона, в третий - четверть батона, в четвертый - восьмушку батона и так далее, в каждый следующий момент вдвое меньше чем в предыдущий. Сколько хлеба в итоге будет в ящике?

Ответ: 2 батона. Игры с перестановками не помогут.

Задача В. Итерации организованы так же, как в исходной задаче. В первый момент в ящик кладут батон хлеба, во второй - забирают полбатона, в третий - добавляют треть батона, в четвертый - забирают четверть батона и так далее, в каждый n-й момент поочередно добавляя и забирая 1/n батона. Сколько хлеба в итоге будет в ящике?

Ответ: ln 2 батона. Но используя рассуждения, подобные исходной задаче, можно получить в качестве ответа любое число.

[Antananarivu]

Вот здесь все очень хорошо по поводу задачи Литлвуда сказано
http://dxdy.ru/topic13718.html