Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Модераторы: Азарапетыч, Администрация
-
- Акула пера
- Сообщения: 5717
- Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
- Пол: Мужской
- Откуда: Раменское, Мос.обл.
Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Активность в этом разделе катастрофически упала, поэтому предлагается вот такая несложная (хотя... это как посмотреть) задачка.
Стоит пустой ящик.
За одну минуту до полудня в него кладут десять шаров (пусть бильярдных, если хотите конкретики). За 30 секунд до полудня один шарик вынимается, но при этом вкладывается еще десять. За 20 секунд до полудня процедура повторяется: один шар вынимается, кладется десять. Потом за 15 секунд, за 12, за 10 и т.д. (т.е. каждый шаг с номером n совершается в момент за 1/n долю минуты до полудня)
Вопрос - сколько шаров будет лежать в ящике в полдень?
(как в любой математической задаче, полагаем, что у нас достаточно шаров для наших опытов, что ящик достаточно велик и что мы достатосно быстры, чтобы все это провернуть)
Стоит пустой ящик.
За одну минуту до полудня в него кладут десять шаров (пусть бильярдных, если хотите конкретики). За 30 секунд до полудня один шарик вынимается, но при этом вкладывается еще десять. За 20 секунд до полудня процедура повторяется: один шар вынимается, кладется десять. Потом за 15 секунд, за 12, за 10 и т.д. (т.е. каждый шаг с номером n совершается в момент за 1/n долю минуты до полудня)
Вопрос - сколько шаров будет лежать в ящике в полдень?
(как в любой математической задаче, полагаем, что у нас достаточно шаров для наших опытов, что ящик достаточно велик и что мы достатосно быстры, чтобы все это провернуть)
-
- Популярный автор
- Сообщения: 1089
- Зарегистрирован: 18 апр 2006, 16:49
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Хм... Полный ящик?
-
- Акула пера
- Сообщения: 5717
- Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
- Пол: Мужской
- Откуда: Раменское, Мос.обл.
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Не-а. Задачка, конечно, с юмором. Но он - юмор - в другом.team55 писал(а):Хм... Полный ящик?
-
- Популярный автор
- Сообщения: 1089
- Зарегистрирован: 18 апр 2006, 16:49
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
ну, если задача математическая, то шаров будет бесконечно много: за каждый шаг добавляется 9 шаров; шагов бесконечно много.Dendr писал(а):как в любой математической задаче
тогда возможет любой ответ - от 0 до бесконечностиDendr писал(а):Задачка, конечно, с юмором
-
- Акула пера
- Сообщения: 5717
- Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
- Пол: Мужской
- Откуда: Раменское, Мос.обл.
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Вот тут-то собака и порылась...
Не факт, далеко нет.team55 писал(а):то шаров будет бесконечно много:
Неверно. Если бы добавлялось каждый раз по 9 шаров, то в условии так и было бы сказано. Но там сказано иначе: достается один из шаров, которые уже были в ящике, и добавляется 10 новых.team55 писал(а):за каждый шаг добавляется 9 шаров;
А вот это истинная правда.team55 писал(а):шагов бесконечно много.
-
- Акула пера
- Сообщения: 9096
- Зарегистрирован: 28 ноя 2003, 14:05
- Пол: Мужской
- Откуда: С большой дороги.
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Интересные шляпки...
Допустим, перед n-м шагом в ящике было Х шаров.
Тогда после n-го шага в ящике будет Х-1+10 шаров.
Но Дендр говорил, что в рамках этой задачи Х-1+10 вовсе не то же самое, что Х+9.
И как это прикажете понимать?
Дендр, правильно ли я понял, что процедура изъятия одного шара и добавления 10-и новых происходит за нулевое время?
Допустим, перед n-м шагом в ящике было Х шаров.
Тогда после n-го шага в ящике будет Х-1+10 шаров.
Но Дендр говорил, что в рамках этой задачи Х-1+10 вовсе не то же самое, что Х+9.
И как это прикажете понимать?
Дендр, правильно ли я понял, что процедура изъятия одного шара и добавления 10-и новых происходит за нулевое время?
В борьбе бобра с козлом побеждает бобро. Или козло.
-
- Акула пера
- Сообщения: 5717
- Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
- Пол: Мужской
- Откуда: Раменское, Мос.обл.
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Парадоксально, но факт - ответ в этих двух случаях разный. Если каждый раз добавлять по 9 шаров - то, разумеется, в итоге их будет бесконечное число, причем не простое, а такое, что в остатке дает единицу. Но если делать так, как в условии, то ответ будет иной.Шшок писал(а):Но Дендр говорил, что в рамках этой задачи Х-1+10 вовсе не то же самое, что Х+9.
И как это прикажете понимать?
Точно так, мгновенно. Математика все ж. Ну, или можно считать, что длительность процедуры N-го шага длится меньше, чем временной промежуток до (N+1)-го шага. (то есть, менее 1/N(N+1) минуты).Шшок писал(а):Дендр, правильно ли я понял, что процедура изъятия одного шара и добавления 10-и новых происходит за нулевое время?
Проще говоря, все шаги разделены во времени, тут никаких хитростей нет. Но совершаются они, понятное дело, все чаще и чаще.
Подсказка 1. Парадокс задачи исходит из того, что мозгу человека не так-то просто перестроиться на оперирование бесконечными (как бесконечно большими, так и бесконечно малыми) величинами. Но бесконечность можно приручить. Вопрос - "как?".
-
- Популярный автор
- Сообщения: 1089
- Зарегистрирован: 18 апр 2006, 16:49
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
в каком остатке?Dendr писал(а):их будет бесконечное число, причем не простое, а такое, что в остатке дает единицу.
шаров будет 10, потом 19, потом 28, потом 37.... потом дофига....потом дофигища....потом ещё больше....
если ты имел ввиду, что надо с умным видом рассмотреть какой-то предел или ряд (дескать, кладём бесконечно много, но вынимаем тоже бесконечно много), то ряд разойдётся, а предел будет равен бесконечности.
-
- Акула пера
- Сообщения: 5717
- Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
- Пол: Мужской
- Откуда: Раменское, Мос.обл.
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Остаток при делении на 9.team55 писал(а): в каком остатке?
-
- Популярный автор
- Сообщения: 1089
- Зарегистрирован: 18 апр 2006, 16:49
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
кстати, строго говоря, математика не даёт ответ на вопрос
хотя ответ на вопросы "сколько шаров будет лежать в ящике в любой заданный момент до полудня?" или "к какому значению будет стремиться количество шаров в ящик при приближении времени к полудню?" математике вполне по силам.Dendr писал(а):сколько шаров будет лежать в ящике в полдень?
-
- Популярный автор
- Сообщения: 2338
- Зарегистрирован: 24 сен 2007, 16:35
- Пол: Мужской
- Откуда: Мытищи
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Решим задачу так.
Пронумеруем шары. Тогда за 30 секунд до полудня мы вынем из ящика шар под номером 1, за 20 секунд до полудня - шар под номером 2. В итоге, к полудню какой бы номер шара мы не взяли - его в ящике уже нет.
Ответ: ровно в полдень в ящике не будет ни одного шара.
P.S. Однако!
Пронумеруем шары. Тогда за 30 секунд до полудня мы вынем из ящика шар под номером 1, за 20 секунд до полудня - шар под номером 2. В итоге, к полудню какой бы номер шара мы не взяли - его в ящике уже нет.
Ответ: ровно в полдень в ящике не будет ни одного шара.
P.S. Однако!
Летим на Марс!
-
- Акула пера
- Сообщения: 5717
- Зарегистрирован: 06 май 2005, 15:11
- Пол: Мужской
- Откуда: Раменское, Мос.обл.
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Верно. В первоисточнике исходно давалось условие, что шары нумерованные, но формально задачи это не меняло.Antananarivu писал(а):Ответ: ровно в полдень в ящике не будет ни одного шара.
P.S. Однако!
Парадокс, но действительно получается, что увеличивая каждой итерацией количество шаров в ящике на 9, мы в итоге придем к тому, что шаров в ящике не останется. В самом деле, мы добавляем бесконечное (и счетное!) количество шаров, но и убираем ведь тоже бесконечное. (inf)-(inf) - выходит неопределенность, которую и не "полопиталишь"...
А вообще задача эта напомнила мне один замечательный "ряд" (кавычки потому, что он, как видно, не сходится... тут даже слово "расходится" язык не поворачивается употребить): 1-1+1-1+1-1+...
Его можно просуммировать так, что он может быть равен любому наперед заданному числу (не обязательно целому). Но в нашем случае есть фактор времени, так что отличие есть, и довольно серьезное.
Разумеется, физически подходить к этой задаче, в ее полном условии, невозможно - ведь рано или поздно вы придем к фундаментальной единице времени, или "планковскому времени" - величине с размерностью времени, выраженной через постоянную Планка, гравитационную постоянную и скорость света в вакууме - приближенно она равна 5,4*10^(-44) с. Ограничиваясь двумя словами, это можно назвать "квантом" времени.
Этот момент (за один "квант" времени до полудня) нельзя в принципе отличить от полудня ни одним прибором, влючая какие-нибудь фантастические квантово-релятивистско-гравитационные измерители времени.
Но с другой стороны, тут же есть и лазейка для физического регшения. Ведь, поскольку измерить этот отрезок мы не может, то в оставшееся время и никакикх наблюдаемых процессов происходить не будет. Этот момент, как видно, на 1,11*10^45 шаге, так что, с точки зрения физики, шаров в ящике к этому моменту будет ~10^46 штук, а значит, раз после этого ничего не происходит, то и в полдень будет столько же.
-
- Популярный автор
- Сообщения: 2338
- Зарегистрирован: 24 сен 2007, 16:35
- Пол: Мужской
- Откуда: Мытищи
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Если вынимать шары в другом порядке (например, в первый момент вынуть шар под номером 2, затем под номером 4, затем под номером 6 и т д.) то в полдень останется бесконечное число шаров. Также ответом может быть любое натуральное число шаров. Скажем, если в первый момент удалить шар под номером 2, затем шар под номером 3 и т д., то ответом будет один шар.
Ох уж эти бесконечные множества.
P.S. А если шары не пронумеровать, я так понимаю, результат вообще неопределен.
Ох уж эти бесконечные множества.
P.S. А если шары не пронумеровать, я так понимаю, результат вообще неопределен.
Летим на Марс!
-
- Популярный автор
- Сообщения: 3359
- Зарегистрирован: 15 янв 2009, 12:32
- Пол: Женский
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Правильный ответ: не следует баловаться с бесконечностью, не понимая что происходит в конкретном случае.
При формальном математическом подходе число шаров в ящике - монотонно возрастающая функция количества итераций и поэтому говорить о том что шаров в ящике не останется - нельзя. Ряд является расходящимся, но можно говорить о том, что число шаров стремится к бесконечности. Задуманный парадокс опирается на возможность физически проделать бесконечное число итераций, что естественно невозможно.
Математически, предложенная процедура действительно эквивалентна перестановке членов в ряду. Известно, что если ряд не является абсолютно сходящимся, то поступать так нельзя. Для условно сходящегося ряда можно добиться _любого_ значения суммы ряда. Расходящийся ряд останется расходящимся, как ни переставляй его члены, так что значение суммы ряда в математическом смысле не определено.
Добавление - примеры.
Задача Б. Итерации организованы так же, как в исходной задаче. В первый момент в ящик кладут батон хлеба, во второй - полбатона, в третий - четверть батона, в четвертый - восьмушку батона и так далее, в каждый следующий момент вдвое меньше чем в предыдущий. Сколько хлеба в итоге будет в ящике?
Ответ: 2 батона. Игры с перестановками не помогут.
Задача В. Итерации организованы так же, как в исходной задаче. В первый момент в ящик кладут батон хлеба, во второй - забирают полбатона, в третий - добавляют треть батона, в четвертый - забирают четверть батона и так далее, в каждый n-й момент поочередно добавляя и забирая 1/n батона. Сколько хлеба в итоге будет в ящике?
Ответ: ln 2 батона. Но используя рассуждения, подобные исходной задаче, можно получить в качестве ответа любое число.
При формальном математическом подходе число шаров в ящике - монотонно возрастающая функция количества итераций и поэтому говорить о том что шаров в ящике не останется - нельзя. Ряд является расходящимся, но можно говорить о том, что число шаров стремится к бесконечности. Задуманный парадокс опирается на возможность физически проделать бесконечное число итераций, что естественно невозможно.
Математически, предложенная процедура действительно эквивалентна перестановке членов в ряду. Известно, что если ряд не является абсолютно сходящимся, то поступать так нельзя. Для условно сходящегося ряда можно добиться _любого_ значения суммы ряда. Расходящийся ряд останется расходящимся, как ни переставляй его члены, так что значение суммы ряда в математическом смысле не определено.
Добавление - примеры.
Задача Б. Итерации организованы так же, как в исходной задаче. В первый момент в ящик кладут батон хлеба, во второй - полбатона, в третий - четверть батона, в четвертый - восьмушку батона и так далее, в каждый следующий момент вдвое меньше чем в предыдущий. Сколько хлеба в итоге будет в ящике?
Ответ: 2 батона. Игры с перестановками не помогут.
Задача В. Итерации организованы так же, как в исходной задаче. В первый момент в ящик кладут батон хлеба, во второй - забирают полбатона, в третий - добавляют треть батона, в четвертый - забирают четверть батона и так далее, в каждый n-й момент поочередно добавляя и забирая 1/n батона. Сколько хлеба в итоге будет в ящике?
Ответ: ln 2 батона. Но используя рассуждения, подобные исходной задаче, можно получить в качестве ответа любое число.
Нас двое - я и папа
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.
И погромче нас были витии Да не сделали пользы пером. Дураков не убавим в России, А на умных тоску наведем.
-
- Популярный автор
- Сообщения: 2338
- Зарегистрирован: 24 сен 2007, 16:35
- Пол: Мужской
- Откуда: Мытищи
Re: Шары в ящике, или Умеете ли вы считать?
Вот здесь все очень хорошо по поводу задачи Литлвуда сказано
http://dxdy.ru/topic13718.html
http://dxdy.ru/topic13718.html
Летим на Марс!