Яблочки

[molch64]

Представляю вашему вниманию очень красивую задачку с финала этого года всероссийкой по математике.

Итак, N яблок вместе весят 100N грамм, причем каждое яблоко весит хотя бы 25 грамм а средний вес яблока - 100 грамм.
Так вот, нужно эти N яблок поделить на N человек (поровну, по 100г. на каждого).
Для этого яблоки придется резать на куски. Нужно доказать, что можно порезать так, чтобы каждый такой кусок был >=25 грамм.

[AndrNiko]

Что-то здесь не так.

Пусть N=2, т.е. имеем 2 яблока. Пусть одно весит 101, а другое - 99. Единственный способ поделить их на 2 человек - разделить большее яблоко на 100+1 и отдать одному 100, а другому - 99+1. Не получается, чтобы куски были не менее 25.

Можно и для других N. Например, 3 яблока по 102, 99, 99. Никак не обойтись без того, чтобы 2 кусочка по 1 не отрезать.

[molch64]

Пусть N=2, т.е. имеем 2 яблока. Пусть одно весит 101, а другое - 99. Единственный способ поделить их на 2 человек - разделить большее яблоко на 100+1 и отдать одному 100, а другому - 99+1. Не получается, чтобы куски были не менее 25.

Режем первое на 50,5 и 50,5, а второе на 49,5 и 49,5.

Можно и для других N. Например, 3 яблока по 102, 99, 99. Никак не обойтись без того, чтобы 2 кусочка по 1 не отрезать.

Тут тоже можно порезать каждое яблоко на 3 равных части и собрать 100 грамм как 34+33+33.

[Инна]

Кажется, решила.
Индукция.
Расмматривается два случая: когда есть яблоко меньше 75 г, и когда нет.

[molch64]

Кажется, решила.
Индукция.
Расмматривается два случая: когда есть яблоко меньше 75 г, и когда нет.

Ну, первый случай видимо не особо интересен
Во втором-то как?