Еще раз о факториалах

[Шшок]

У моего племянника в школе (8 класс) состоялась "нестандартная контрольная". Их предупредили, что на контрольной будут несложные задачи с очень не стандартным условием.
Так и вышло. Одна из задачек мне безумно понравилась, и я выставляю ее на ваше обозрение. Оцените изящество задачи.

Найти натуральное число n, если известно, что n!=(n!)! / 120

[team55]

Проще всего подбором, всего три попытки надо

[Шшок]

Проще всего подбором, всего три попытки надо

Возможно, подбором и проще. Но училка математики сильно хвалила тех очень немногочисленных ребят, которым пришло в голову первым делом избавиться от двойного факториала. Она в результате так и сказала: "Они хорошо понимают, что такое факториал".

[ЛевК]

Действительно, зачем перебор?
Пусть n! = x
Тогда x = x!/120
Или (х-1)! = 120
И всё.

[Шшок]

А вот и еще одна милая факториальная задачка для израильских восьмиклассничков...

Дано произведение факториалов 1!х2!х3!х....х10!
Это произведение поделили на некоторое натуральное число N, и в частном получился точный квадрат.
Доказать, что N делится на 15.

[Юляша]

А вот

Что-то не так с формулировкой...
Как описано тут, легко придумать контрпример.

[team55]

Если расписать на простые множители произведение 1!х2!х3!х....х10!, то обнаружим, что в нечётной степени окажутся только два сомножителя: 3 и 5.

[Шшок]

Что-то не так с формулировкой...
Как описано тут, легко придумать контрпример.

Ниже пишу невидимым шрифтом.

Предлагалось такое решение этой задачи:
1!=1
2!=1х2
3!=1х2х3
.......
10!=1х2х3х...х10

Значит, произведение факториалов равно (1^10)x(2^9)x(3^8)x(4^7)x(5^6)x(6^5)x(7^4)x(8^3)x(9^2)x(10^1). Представляя каждый составной сомножитель в виде произведения простых, получаем в итоге, что произведение факториалов равно 2^38 x 3^17 x 5^7 x 7^4.
А дальше такой тезис: чтобы число было полным квадратом необходимо и достаточно, чтобы все его простые сомножители были в четных степенях. Поскольку в нашем произведении факториалов простые множители 3 и 5 стоят в нечетных степенях, то для получения в частном точного квадрата необходимо (хоть и не достаточно) избавиться от хотя бы одной тройки и хотя бы одной пятерки, то есть чтобы произведение 3х5=15 было бы сомножителем числа N.
Возможно, что в этих рассуждениях есть какие-то пробелы, но ошибок, влияющих не результат, я не вижу.

[Шшок]

Если расписать на простые множители произведение 1!х2!х3!х....х10!, то обнаружим, что в нечётной степени окажутся только два сомножителя: 3 и 5.

Ну да, ну да. Непонятно, что за контрпример придумала Юляша.

[Юляша]

А...
х - это знак умножения...
Мне навскидку показалось, что имеется в виду произведение вида x1! * x2! *...*x10!

[Шшок]

А...
х - это знак умножения...
Мне навскидку показалось, что имеется в виду произведение вида x1! * x2! *...*x10!

Бритва Окама рулит...

[team55]

Бритва Оккама рулит...

Вот только не в данетках